巧用“等时圆”解物理问题 一、何谓“等时圆” 奇妙的等时圆——2004 年全国高考理科综合第 15 题的解析与应用 从一道高考题得到的一个重要结论及其应用 2 0 0 4 年高考试题： 如图 1 所示，ad、bd、cd 是竖直面内三根固定的光滑细杆，a、b、c、d 位于同一圆周上，a 点为圆周的最高点，d 点为最低点。每根杆上都套有一个小滑环（图中未画出），三个滑环分别从 a、b、c 处释放（初速为 0），用t1、t2、t3 依次表示各滑环到达 d 所用的时间，则（） A.t1t2>t3 C.t3>t1>t2 D.t1=t2=t3 解析：选任一杆上的环为研究对象，受力分析并建立坐标如图所示，设圆半径为 R，由牛顿第二定律得， mamgcos ① 再由几何关系，细杆长度cos2RL ② 设下滑时间为t，则221 atL ③ 由以上三式得，gRt 2 可见下 4 滑时间与细杆倾角无关，所以D 正确。由此题我们可以得出一个结论。 结论：物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑弦由静止下滑，到达圆周最低点的时间相等。 推论：若将图 1 倒置成图 2 的形式，同样可以证明物体从最高点由静止开始沿不 同的光滑细杆到圆周上各点所用的时间相等。 (1)物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑弦由静止下滑，到达圆周最低点时间均相等，且为 t＝2Rg(如图甲所示)． (2)物体沿着位于同一竖直圆上的所有过顶点的光滑弦由静止下滑，到达圆周低端时间相等为 t＝2Rg(如图乙所示)． 象这 样的竖直圆我们简 称 为“等时圆”。关于它 在 解题中的应用，我们看 下面的例 子 ： 一、 等时圆模 型 （如图所示） 图 2 图 a 图 b 图 1 二 、 等 时 圆 规 律 ： 1、 小 球 从 圆 的 顶 端 沿 光 滑 弦 轨 道 静 止 滑 下 ， 滑 到 弦 轨 道 与 圆 的 交 点 的 时 间 相 等 。 （ 如 图 a） 2、 小 球 从 圆 上 的 各 个 位 置 沿 光 滑 弦 轨 道 静 止 滑 下 ， 滑 到 圆 的 底 端 的 时 间 相 等 。 （ 如 图 b） 3、 沿 不 同 的 弦 轨 道 运 动 的 时 间 相 等 ， 都 等 于 小 球 沿 竖 直 直 径 （ d ） 自 由 落 体 的 时 间 ， 即 gRgRgdt2420 （ 式 中 R 为 圆 的 半 径 。 ） 三 、 等 时 性 的 证 明 设 某 一 条 弦 与 水 平 方 向 的 夹 角 为 ， ...
