《初等数论》习题解答（修改版）（茂名学院 WeiXLI） 1 / 77 第一章 整数的可除性 §1 整除的概念·带余除法 1．证明定理3 定理3 若12naaa，，，都是m 得倍数，12nqqq，，，是任意n 个整数，则1122nnq aq aq a是m 得倍数． 证明： 12,,naaa都是m 的倍数。 存在n 个整数12,,nppp使 1122,,,nnap map map m 又12,,,nqqq是任意n 个整数 1122nnq aq aq a 1122nnq p mq p mq p m 1122()nnp qq pq pm 即1122nnq aq aq a是m 的整数 2．证明 3 |(1)(21)n nn 证明 (1 ) ( 21 )(1 ) (2n nnn nnn (1)(2)(1) (1)n nnnn n 又(1)(2)n nn，(1) (2)nn n是连续的三个整数 故 3 |(1)(2),3 | (1) (1)n nnnn n 3 |(1)(2)(1) (1)n nnnn n 从而可知 n nn 3．若00axby是形如axby（x，y 是任意整数，a，b 是两不全为零的整数）的数中最小整数，则00() | ()axbyaxby． 《初等数论》习题解答（修改版）（茂名学院 WeiXLI） 2 / 77 证： ,a b不全为0 在整数集合| ,Saxbyx yZ中存在正整数，因而有形如axby的最小整数00axby ,xyZ，由带余除法有0000(), 0axbyaxbyqrraxby 则()()rxx q ayy q bS，由00axby是 S 中的最小整数知0r 00 |axbyaxby 00 |axbyaxby （ ,xy 为任意整数） 0000|,|axbya axbyb 00 | ( , ).axbya b 又有( , ) |a ba ，( , ) |a bb 00( , ) |a baxby 故00( , )axbya b 4．若 a，b 是任意二整数，且0b ，证明：存在两个整数 s，t 使得 ||,| |2babstt 成立，并且当 b 是奇数时，s，t 是唯一存在的．当 b 是偶数时结果如何？ 证：作序列33,,,, 0,,,,2222bbbbbb 则 a 必在此序列的某两项之间 即存在一个整数q ，使122qqbab成立 ( )i 当 q 为偶数时，若0.b 则令,22qqstabsab，则有 02222bqqqabstababbt 若0b 则令,22qqstabsab ，则同样有2bt ( )ii 当 q 为奇数时，若0b 则令11,22qqstabsab，则有 《初等数论》习题解答（修改版...
