《初等数论》习题解答 第一章 整数的可除性 §1 整除的概念·带余除法 1．证明定理3 定理3 若12naaa，，，都是m 得倍数，12nqqq，，，是任意n 个整数，则1 122nnq aq aq a是m 得倍数． 证明： 12,,na aa都是m 的倍数。 存在n个整数12,,np pp使 1122,,,nnap m ap map m 又12,,,nq qq是任意n个整数 1 122nnq aq aq a 1122nnq p mq p mq p m 1 122()nnp qq pq p m 即1 122nnq aq aq a是m 的整数 2．证明 3| (1)(21)n nn 证明 (1 ) ( 21 )(1 ) (2n nnn nnn (1 ) (2 )(1 ) (n nnnn n 又(1)(2)n nn，(1) (2)nn n是连续的三个整数 故3| (1)(2), 3| (1) (1)n nnnn n 3| (1)(2)(1) (1)n nnnn n 从而可知 3| (1)(21)n nn 3．若00axby是形如 axby（x，y 是任意整数，a，b 是两不全为零的整数）的数中最小整数，则00() | ()axbyaxby． 《初等数论》习题解答 证： ,a b不全为0 在整数集合| ,Saxby x yZ中存在正整数，因而有形如axby的最小整数00axby ,x yZ，由带余除法有0000(),0axbyaxbyqrraxby 则00()()rxx q ayy q bS，由00axby是 S 中的最小整数知0r 00 |axbyaxby 00 |axbyaxby （ ,x y 为任意整数） 0000| ,|axbya axbyb 00 |( , ).axbya b 又有 ( , ) |a ba ，( , ) |a bb 00( , ) |a baxby 故00( , )axbya b 4．若 a，b 是任意二整数，且0b ，证明：存在两个整数 s，t 使得 | |,| |2babstt 成立，并且当 b 是奇数时，s，t 是唯一存在的．当 b 是偶数时结果如何？ 证：作序列33,,,,0,,,,2222bbbbbb 则a必在此序列的某两项之间 即存在一个整数 q ，使122qqbab成立 ( )i 当 q 为偶数时，若0.b 则令,22qqstabsab，则有 02222bqqqabstababbt 若0b 则令,22qqstabsab ，则同样有2bt ( )ii 当 q 为奇数时，若0b 则令11,22qqstabsab，则有 《初等数论》习题解答 1102222bbqqtabsababt ...
