1《常微分方程》习题解答东 北 师 范 大 学 微 分 方 程 教 研 室 (第 二 版 )高 等 教 育 出 版 社2习 题 1.21 求下列可分离变量微分方程的通解：(1)xdxydy=解：积分，得1222121cxy+=即cyx=− 22(2)yydxdy ln=解：1,0==yy为特解，当1,0≠≠yy时，dxyydy=ln，积分，得0ln,lnln11≠=±=+=cceeeycxyxxc，即xceey=(3)yxedxdy−=解： 变形得dxedyexy=积分，得ceexy=−(4)0cottan=−xdyydx解：变形得xydxdycottan=，0=y为特解，当0≠y时，dxxxdyyycossinsincos=.积分，得11cossinln,coslnsinlncxycxy=+−=,即0,cossin1≠=±=ccexyc2．求下列方程满足给定初值条件的解：(1)1)0(),1(=−=yyydxdy解：1,0==yy为特解，当1,0≠≠yy时，dxdyyy=−−)111(，积分，得0,1,1ln11≠=±=−+=−cceeeyycxyyxxc将1)0(=y代入，得0=c，即1=y为所求的解。(2)1)0(,02)1(22==+′−yxyyx解：0,1222=−−=yxxydxdy为特解，当0≠y时，dxxxydy1222−−=，积分，得cxy+−−=−1ln123将1)0(=y代入，得1−=c，即11ln12+−=xy为所求的解。(3)0)2(,332==′yyy解：0=y为特解，当0≠y时，dxydy=323，积分，得331)(,cxycxy+=+=将0)2(=y代入，得2−=c，即3)2( −= xy和0=y均为所求的解。(4)1)1(,0)()(2222−==+−+ydyyxxdxxyy解：0,0==yx为特解，当0,0≠≠ yx时，01122=+−+dyyydxxx，积分，得0,,ln1ln1111111≠=±==−++−−−cceeeyxcyyxxyxyxc将1)1(−=y代入，得2−−= ec，即yxeeyx112−−−=为所求的解。4．求解方程01122=−+−dyxydxyx解：)11(1),11(1≤≤−±=≤≤−±=xyyx为特解，当1,1±≠±≠yx时，01122=−+−dyyydxxx积分，得)0(1122>=−+−ccyx6．求一曲线，使其具有以下性质：曲线上各点处的切线与切点到原点的向径及 x 轴可围成一个等腰三角形(以 x 轴为底)，且通过点(1,2).解：设所求曲线为)(xyy=对其上任一点),(yx的切线方程：)('xXyyY−=−于 x 轴上的截距为'yyxa−=由题意建立方程：0'−=−−xxyyx即2)1(,'=−=yxyy求得方程的通解为0,≠=cexyc再由ce=2得 c = ln2 ,得所求曲线为4为2=xy7．人工繁殖细菌，其增长速度和当时的细菌数成正比（1）如果 4 小时的细菌数为原细菌数的 2 倍，那么经过 12 小时应有多少？（2）如果在 3 小时时的细菌数为得410 个，在 5 小时时的细菌数为得4104×个，那么在开始时有多少个细菌？解：设 t时刻的细菌数为 q (t) , 由题意建立微分方程0>=kkqdtdq求解方程得ktceq =再设 ...
