求数列前n项和的几种常用方法

百度文库- 让每个人平等地提升自我1 求数列前 n 项和的几种常用方法江苏省马吉超一、 公式法如果数列是等差或等比数列，可直接利用前 n 项求和公式， 这是最基本的方法。但应注意等比数列前N 项求和公式qqansn111中1q的条件。例 1 求xxsnnx2解：①当1x时，nsn111。②当1x时，xxxsnn11。二、分组转化法如果所给数列的每一项是由等差、等比或特殊数列对应项的和或差构成，可以把原数列的求和分组转化为等差、等比或特殊数列的求和。例 2 求2834221nnns解：222322321nnns22121nnn例 3 求nsn321321211解：22213212nnnnn∴nnsn32121212222321百度文库- 让每个人平等地提升自我2 2121121621nnnnn621 nnn三、倒序相加法如果求和数列的首末两项的和及与首末两项等距离的两项的和相等，可用此法。（等差数列求和公式可用此法推导）例 4 求所有大于 2 且小于 10 的分母为 5 的既约分数的和。解：549548547513512511s⑴又511512513547548549s⑵⑴+⑵得)511549()548512()549511(2s3212384故192s例 5 求cccccnnnnnnnnns1321210解：cccccnnnnnnnnns1321210⑴ccccnnnnnnnns01121⑵又ccmnnmn⑴+⑵得cccnnnnnnns222210)(2110ccccnnnnnnn22nn故212nns百度文库- 让每个人平等地提升自我3 四、错位相减法形如bann的数列，其中 an 是等差数列， bn 是等比数列，则可在求和等式两边同乘bn 的公比，然后两等式错位相减。（等比数列求和公式可用此法推导）例 6 求222323221nnns∵222213213221nnnnns①∴22222132121nnnnns②① — ② 得22221321231221nnnnnns2121nn故21 21nnns五、裂项相消法如果求和数列的每一项均能分裂成对应两项的差，求和时，大部分正负项又可以相消，则可用此法。例 7 求nsn321132112111解：1112123211nnnnn1112312122112nnsn11131212112nn=1112n12nn百度文库- 让每个人平等地提升自我4 例 8 求11321211nnsn解nnnn111∴nnsn1231211n六、二项式定理法某些由组合数构成的数列求和时，往往用二项式定理更有效。例 9 求cccnnnnS22210解：由二项式定理xcxcccxnnnnnnnx22101⑴ccxcxcxnnnnnnnnnx11101⑵xcxcccxnnnnnnnnnx2222120221⑶∵xxxnnn1112∴⑴与⑵的积中含 xn 项的系数cccnnnn22210应与⑶中含 xn 项的系数 cnn2 相等。故cccnnnnS22210cnn2 。七、常见结论法熟悉一些常见结论，对解决求和问题很有益处。如: ⑴121622221nnnn. ⑵2333]12[21nnn⑶等差数列的前N 项和、次 N 项和、后 N 项和构成等差数列。百度文库- 让每个人平等地提升自我5 ⑷等比数列的前N 项和、次 N 项和、后 N 项和构成等比数列。例 10 设某等差数列的前10 项和510s，前 20 项的和2020s，求该数列前 30 项的和 s30. 解：由 s10 、)(1020 ss、)(2030 ss构成等差数列知：)(21020 ss=s10 +)(2030 ss, 即205520230s, 得4530s.