浙江大学 1999 年研究生高等代数试题一．naaa,,,21是 n 个不相同的整数，证明1)())(()(21naxaxaxxf在有理数域上可约的充分必要条件是)(xf可表示为一个整数多项式的平方二．设naaa21，且0T，求 (1)TnE(2)1)(TnE(其中nE 为 n 阶单位阵，的转置为T) 三．矩阵nmA是行满秩)(mA即秩，证明：(1)存在可逆阵 Q ，使得QEAm)0,((2) 存在矩阵mnB，使得mEAB四．设 n 阶方阵 A满足AA2，n,,,21是nP 中 n 个线形无关的列向量，设2V 是由nAAA,,,21生成的子空间，1V 是0AX的解空间，证明：21VVPn(21VV表示1V 与2V 的直和 ) 五．设BA,都是 n 阶实对称矩阵，且B 正定，则存在nDS1及，使得TTSSBSDSA,六．设 n 阶矩阵)(ijaA，满足下列条件：(1)0ija1,ji,(2)121iniiaaa(i=1,2,,n)求证： (1) A的每一个特征值，都有1 (2)10为 A 的一个特征是实数innxxx|1，阶正定阵是nA，nxx1，nnyy1，求证： (1)))(()(2AAATTT等号成立当且仅当与线形相关时成立（ 2）若是正定矩阵，则A))(()(2AAATTT也成立八（1）设BA,分别为复数矩阵域上的阶方阵阶和 lk，并且BA,没有公共的特征值，求证XBAX只有空解（这里kkijxX)(）（2）在nn中，变换nnAXAAXX,:，为一个固定的矩阵，且的特征值不为（-）的特征值，求证：为一个线形变换。二〇〇〇年攻读硕士研究生入学考试试题一、（20 分）( )f x 是数域 P 上的不可约多项式（1）( )[ ]g xP x ，且与( )f x 有一个公共复根，证明( ) |( )f xg x ；（2）若 c 及1c 都是( )f x 的根， b 是( )f x 的任一根，证明1b 也是( )f x 的根 . 二、（10 分）计算行列式210000121000000121000012nD. 三、（20 分）A是正定阵， C 是实对称矩阵，证明：存在可逆矩阵P 使得11,PAP P CP 同时为对角形；A是正定阵， B 是实矩阵，而AB 是实对称的，证明：AB正定的充要条件是B 的特征值全大于0. 四、（ 20 分）设 n 维线性空间V 的线性变换A 有 n 个互异的特征值，线性变换B 与 A可交换的充要条件是B 是21, ,,,nE A AA的线性组合，其中E 为恒等变换 . 五、（10 分）证明： n阶幂零指数为1n的矩阵都相似 . （若10nA，20nA而称 A的幂零指数为1n）六、（20 分）设,A B 是 n 维欧氏空间 V 的线性变换。对任意,V ，都有 ( ( ),)( ,())AB。证明： A 的核等于 B 的值域的正交补. 2000 年攻读硕士学位研究生入学考试试题解答一、( )f x 是数域...
