初中数学阿氏圆最值模型归纳

几 何模型：阿氏圆最值模型 【模型来源】 “阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知 A、B 两点，点 P 满足 PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点 P 的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”. ABPO 【模型建立】 如图 1 所示，⊙O 的半径为 R，点 A、B 都在⊙O 外 ，P 为⊙O 上一动点，已知 R= 25 OB， 连接 PA、PB，则当“PA+ 25 PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？ 解决办法：如图 2，在线段 OB 上截取 OC 使 OC= 25 R，则可说明△BPO 与△PCO 相似，则有 25 PB=PC。故本题求“PA+ 25 PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与 A 与 C 为定点，P 为动点，故当 A、P、C 三点共线时，“PA+PC”值最小。 【技巧总结】 计算 PAk PB的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形 问题：在圆上找一点 P 使得 PAk PB的值最小，解决步骤具体如下： 1. 如图，将系数不为1 的线段两端点与圆心相连即OP，OB 2. 计算出这两条线段的长度比OPkOB  3. 在OB 上取一点C，使得OCkOP ，即构造△POM∽△BOP，则PCkPB ，PCk PB 4. 则=PAk PB PAPCAC，当A、P、C 三点共线时可得最小值 典题探究 启迪思维 探究重点 例题1. 如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C 为圆心，2 为半径作圆C，分别交AC、BC于D、E 两点，点P 是圆C 上一个动点，则12 PAPB的最小值为__________． EABCDP MPDCBA 【分析】这个问题最大的难点在于转化12 PA ，此处P 点轨迹是圆，注意到圆C 半径为2，CA=4， 连接CP，构造包含线段AP 的△CPA，在CA 边上取点M 使得CM =2， 连接PM，可得△CPA∽△CMP，故PA：PM=2:1，即PM= 12 PA ． 问题转化为PM+PB≥BM 最小值，故当B，P，M 三点共线时得最小值，直接连BM 即可得13 ． 变式练习>>> 1．如图1，在RT△ABC 中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，圆C 的半径为2，点P 为圆上一动点，连接AP,BP， 求①BPAP21，②BPAP 2，③BPAP 31，④BPAP3的最小值. [答案]：①=37 ，②=237 ，③=3372，④=2 37 . 例题2 . 如图，点C 坐标为(2,5)，点A 的坐标为(7,0)，⊙C 的半径为10 ,点B 在⊙C 上一动点，ABOB55的最小值为________. [答案]：5. 变式练习>>> 2．如图，在平面直角坐标系 xoy 中，A(6,-1)，M(4,...