第1 8 章 勾股定理复习 一．知识归纳 １．勾股定理 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222abc 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGHSSS 正方形正方形ABCD，2214()2 abbac，化简可证． cbaHGFEDCBA 方法二： bacbaccabcab 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422Sabcabc 大正方形面积为222()2Sabaabb 所以222abc 方法三：1 () ()2Sabab梯形，2112S2 22ADEABESSabc梯形，化简得证 abccbaEDCBA ３.勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边 在ABC中，9 0C，则22cab，22bca，22acb ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 5、利用勾股定理作长为的线段 作长为、、的线段。 思路点拨：由勾股定理得，直角边为 1 的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为和1 的直角三角形斜边长就是，类似地可作。 作法：如图所示 （1）作直角边为 1（单位长）的等腰直角△ACB，使 AB 为斜边； （2）以 AB 为一条直角边，作另一直角边为 1 的直角 。斜边为； （3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形 ，这样斜边、、、的长度就是 、、、。 举一反三 【变式】在数轴上表示的点。 解析：可以把看作是直角三角形的斜边，， 为了有利于画...
