弦图及推广图在某些三角形面积最大值中的应用 弦图由我国三国时期数学家赵爽发现与研究的，由四个全等的直角三角形拼成的内外都为正方形(外正方形的边为直角三角形的斜边)的一个图形，如下图 1、弦(斜边)在外的弦图称为外弦图，如下图 2 中的弦在内的弦图称为内弦图. 弦图一般用来证明勾股定理之外，笔者研究发现还可以用来求某些直角三角形面积最大值问题.例 1.(1)求斜边为 4 的直角三角形面积的最大值； (2)求直角边之和为 4 的直角三角形面积的最大值.解：(1) 如图 3，取 4 个这样的全等直角三角形组 成 外 弦 图 ， 直 角 三 角 形 面 积 等 于 外 正 方 形 的 面 积减去内正方形面积的差再除以 4 的结果.外正方形的面积为 16，当这种这种直角三角形的两条直角边相等时，内正方形的面积为 0，直角三角形的面积最大， 故斜边为 4 的直角三角形面积最大值为:16÷4=4. (2)如图 4，取 4 个这样的全等直角三角形组成 内 弦 图 ， 同 样 ， 直 角 三 角 形 面 积 等 于 外 正 方 形 的 面 积 减 去 内 正 方 形 面 积 的 差 再 除 以 4 的 结 果.外正方形的面积为 16，当内正方形的半径最小时，内正方形的面积取得最小值，而内正方形的半径最小值为 2，此时直角三角形的两边相等，故直角三角形的面积最大值为：×2×2=2. 分析与反思：这 2 道问题略有不同，差别在于已知条件的不同，一个是斜边为定值，一个是直角边之和为定值，因而选择不同的弦图，那么为什么要选择弦图来解决这类问题呢？当然这 2 个问题的解决还有许多方法，不一一列举了，经过观察，我们能发现，首先，直角三角形最大角是直角，正多边形内角为直角的仅仅是正方形，而且，直角三角形两个锐角之和也为直角，因此，此类问题都可以运用弦图来解决. 拓展：既然这类直角三角形面积最大值问题可以用弦图来解答，那么其他斜三角形的某些面积最大值能否找到类似方法呢？这是肯定的，但是仅限于特殊内角的三角形，大家看看例 2.例 2.(1)一个三角形的一条边为 4，其对角为 120°，求该三角形面积的最大值；(2)一个三角形的两边之和为 4，这两边的夹角为 120°，求该三角形面积的最大值.解：(1)如图 5，取 3 个这样符合条件的全等三角形拼成正三角形，外正三角形的面积为：×4×=. 当内正三角形面积为 0，即该三角形为等腰三角形时，三角形面积有最大值，最大值为：÷3=. (2)如...
