角平分线模型模型 2 截取构造对称全等 如图，P 是∠MON 的角平分线上一点，点 A 是射线 OM 上任意一点，在 ON 上截取 OB=OA，连接 PB。 结论：△OPB≌△OPA。 模型证明：O∵ P 是∠MON 的角平分线∴∠AOP=∠BOP，OP=OP又 OA=AB∴△OPB≌△OPA模型分析利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得 到对应边、对应角相等。利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使 用的一种解题技巧。 模型实例 （1）如图①所示，在△ABC 中，AD 是△ABC 的外角平分线，P 是 AD 上异于点 A 的任意一点，试比较 PB+PC 与 AB+AC 的大小，并说明理由； （2）如图②所示， AD 是△ABC 的内角平分线，其他条件不变，试比较 PC-PB 与 AC-AB 的大小，并说明理由。解:（1）如图在 BA 的延长线上取点 E 使 AE=AC，连接 PC由角平分线模型 2 可证△APC≌△APE∴PC=PE∴在△PBE 中有PC+PE>BE=AB+AE∴PB+PC>AB+AC（2）如图在 AC 上取一点 E 使 AE=AB，连接 PE ∵∠BAP=∠EAP,AP=AP,AE=AB ∴△BAP≌△EAP ∴PB=PE在△PEC 中，PC-PB=PC-PE>EC=AC-AE=AC-AB∴PC-PB>AC-AB模型练习1．已知，在△ABC 中，∠A=2∠B，CD 是∠ACB 的平分线，AC=16，AD=8。 求线段 BC 的长。 解：如图在 CB 上取一点 E 使 CE=CA，则有CD=CD，∠ACD=ECD∠ACDECD∴△≌AD=DE=8∴A=CED=2B∴∠∠∠又∠CED=B+BDE∠∠B=BDE∴∠∠BDE∴△为等腰三角形DE=BE=8∴又 CE=CA=16BC=BE+EC=24∴2．已知，在△ABC 中，AB=AC，∠A=108°，BD 平分∠ABC。 求证：BC=AB+CD。 解：如图在 BC 上取一点 E 使 BA=BE,则BD=BD,∠ABD=∠EBDABDEBD∴△≌△AB=EB∴，∠DEB=108°又∠C=36°CDE=CED=72°∴∠∠CD=CE∴∴BC=AB+CD3．如图所示，在△ABC 中，∠A=100°，∠ABC=40°，BD 是∠ABC 的平分线，延 长 BD 至 E，DE=AD。求证：BC=AB+CE。
