用点差法解圆锥曲线的中点弦问题

第 1 页 共 5 页用“点差法”解圆锥曲线的中点弦问题与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式求解，但运算量较大。若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11 yxA、),(22 yxB，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦 AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法” 。下面就如何用点差法计算举几个例子供大家参考。一、 求以定点为中点的弦所在直线的方程例 1、过椭圆141622yx内一点)1,2(M引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。解： 设直线与椭圆的交点为),(11 yxA、),(22 yxB)1,2(M为 AB 的中点421xx221yy又 A 、 B 两点在椭圆上，则1642121yx，1642222yx两式相减得0)(4)(22212221yyxx于是0))((4))((21212121yyyyxxxx21244)(421212121yyxxxxyy即21ABk，故所求直线的方程为)2(211xy，即042yx。例 2、已知双曲线1222yx，经过点)1,1(M能否作一条直线l ，使 l 与双曲线交于A 、B ，且点 M 是线段 AB 的中点。若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。解： 设存在被点 M 平分的弦 AB ，且),(11 yxA、),(22 yxB则221xx，221yy122121yx，122222yx两式相减，得0))((21))((21212121yyyyxxxx22121xxyyk AB故直线)1(21:xyAB第 2 页 共 5 页由12)1(2122yxxy消去 y ，得03422xx08324)4(2这说明直线 AB 与双曲线不相交，故被点M 平分的弦不存在，即不存在这样的直线l 。策略： 本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。由此题可看到中点弦问题中判断点的M 位置非常重要。 （1）若中点 M 在圆锥曲线内，则被点M 平分的弦一般存在；（2）若中点 M 在圆锥曲线外，则被点M 平分的弦可能不存在。二、 求弦的中点坐标和中点轨迹方程例 3、已知椭圆1257522xy的一条弦的斜率为3，它与直线21x的交点恰为这条弦的中点M ，求点 M 的坐标。解： 设弦端点),(11 yxP、),(22 yxQ，弦 PQ 的中点),(00 yxM，则210x12021xxx，0212yyy又125752121xy，125752222xy两式相减得0))((75))((2521212121xxxxyyyy即0)(3)(221210xxyyy0212123yxxyy32121xxyyk3230y，即210y点 M 的坐标为)21,21(。例 4、已知椭圆1257522xy, 求它的...