直角三角形的性质例题精讲与同步训练含解答-

- 1 - 直角三角形的性质重难点重点 ：直角三角形的性质定理及其推论：①直角三角形的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半; ②推论：（1）在直角三角形中，如果一个锐角等于30° ，则它所对的直角边等于斜边的一半 ; （2）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角为30°. 难点：1. 性质定理的证明方法. 2. 性质定理及其推论在解题中的应用. 讲一讲例 1 ：已知， Rt△ ABC中，∠ ACB=90° ， AB=8cm，D为 AB中点， DE⊥AC于 E，∠A=30° ，求 BC，CD和 DE的长分析 ：由 30° 的锐角所对的直角边为斜边的一半，BC可求，由直角三角形斜边中线的性质可求 CD. 在 Rt△ADE中，有∠ A=30° ，则 DE可求 . 解： 在 Rt △ABC中 ∠ ACB=90 ∠A=30° ∴ABBC21 AB=8 ∴BC=4 D为 AB中点， CD为中线∴421ABCD DE⊥AC，∴∠ AED=90°在 Rt△ADE中，ADDE21，ABAD21∴241ABDE例 2 ：已知：△ ABC中， AB=AC=BC （△ ABC为等边三角形） D为 BC边上的中点，DE⊥AC于 E. 求证：ACCE41. 分析： CE在 Rt△DEC中，可知是CD的一半，又 D 为中点，故CD为 BC上的一半，因此可证 . 证明： DE⊥ AC于 E，∴∠ DEC=90° ( 垂直定义 ) △ ABC为等边三角形，∴AC=BC ∠C=60° 在 Rt△ EDC中，∠ C=60° ，∴∠ EDC=90° -60 ° =30°∴CDEC21 D为 BC中点，- 2 - ∴BCDC21∴ACDC21∴ACCE41. 例 3 ：已知：如图AD∥BC，且 BD⊥CD， BD=CD， AC=BC. 求证： AB=BO. 分析： 证 AB=BD只需证明∠ BAO=∠BOA 由已知中等腰直角三角形的性质，可知BCDF21。由此，建立起AE与 AC之间的关系，故可求题目中的角度，利用角度相等得证. 证明：作DF⊥BC于 F， AE⊥BC于 E △ BDC中，∠ BDC=90° ， BD=CD ∴BCDF21 BC=AC ∴ACDF21 DF=AE ∴ACAE21∴∠ ACB=30° ∠ CAB=∠ABC，∴∠ CAB=∠ABC=75°∴∠ OBA=30°∴∠ AOB=75°∴∠ BAO=∠BOA ∴AB=BO 练一练1. △ ABC中，∠ BAC=2∠B，AB=2AC，AE平分∠ CAB。求证： AE=2CE。2. 已知， Rt△ABC中，∠ ACB=90° ， CD⊥AB，CE为 AB边上的中线，且∠BCD=3∠ DCA。求证： DE=DC。3. 如图： AB=AC，AD⊥BC于 D，AF=FD，AE∥BC且交 BF 的延长线于E，若 AD=9， BC=12，求BE 的长。- 3 - 4. 在△ ABC中，∠ ACB=90° ， D 是 AB边...