矩阵的概念和线性运算

第二章矩阵§2.1 矩阵的概念及其线性运算学习本节容，特别要注意与行列式的有关概念、运算相区别。一．矩阵的概念矩阵 是一简化了的表格,一般地mnmmnnaaaaaaaaa212222111211称为nm矩阵 ,它有 m 行、 n 列，共nm个元素，其中第i 行、第 j 列的元素用jia表示。通常我们用大写黑体字母A 、 B 、 C ⋯⋯表示矩阵。为了标明矩阵的行数 m 和列数 n ,可用nmA或i jm na表示。矩阵既然是一表，就不能象行列式那样算出一个数来。所有元素均为 0 的矩阵，称为 零矩阵 ，记作 O 。两个矩阵 A 、 B 相等，意味着不仅它们的行、列数相同，而且所有对应元素都相同。记作BA。如果矩阵 A 的行、列数都是n ，则称 A 为 n 阶矩阵 ，或称为 n 阶方阵 。 n 阶矩阵有一条从左上角到右下角的主对角线 。n 阶矩阵 A 的元素按原次序构成的n阶行列式，称为矩阵 A 的行列式 ，记作 A 。在 n 阶矩阵中，若主对角线左下侧的元素全为零，则称之为上三角矩阵 ；若主对角线右上侧的元素全为零，则称之为下三角矩阵 ；若主对角线两侧的元素全为零，则称之为对角矩阵 。主对角线上元素全为1 的对角矩阵，叫做单位矩阵 ，记为 E ，即100010001En1矩阵（只有一行）又称为n 维行向量 ；1n矩阵（只有一列）又称为n 维列向量 。行向量、 列向量统称为 向量 。向量通常用小写黑体字母a ，b ， x ， y ⋯⋯表示。向量中的元素又称为向量的分量 。11矩阵因只有一个元素，故视之为数量，即aa。二．矩阵的加、减运算如果矩阵A 、 B 的行数和列数都相同，那么它们可以相加、相减，记为BA、BA。分别称为矩阵A 、 B 的和与差。BA表示将 A 、 B 中所有对应位置的元素相加、减得到的矩阵。例如230321A，035234B20555302)3(350233241BA26511502)3(350233241BA三．矩阵的数乘矩阵 A 与数 k 相乘记为Ak或 Ak 。 Ak表示将 k 乘 A 中的所有元素得到的矩阵。例如150342A，315091261353033343233A当1k时，我们简记(1) AA ，称为 A 的负矩阵 。矩阵的加减与 数乘 统称为 线性运算 。不难验证线性运算满足交换律、结合律与分配律， 这与数量的运算规律相同，所以在数量运算中形成的诸如提取公因子、合并同类项、 移项变号、 正负抵消等运算习惯，在矩阵的线性运算中都可以保留、沿用。例2.1设864297510213A，612379154257B， 已 知BXA2，求 X 。解在等式中移项得ABX2，再除以 2 得)(21AB...