离散型随机变量的期望与方差

开锁次数的数学期望和方差例有 n 把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能把大门上的锁打开．用它们去试开门上的锁． 设抽取钥匙是相互独立且等可能的．每把钥匙试开后不能放回．求试开次数的数学期望和方差．分析： 求)(kP时，由题知前1k次没打开，恰第k 次打开．不过，一般我们应从简单的地方入手，如3,2,1，发现规律后，推广到一般．解：的可能取值为1，2，3，⋯， n．;12112121)111()11()3(;111111)11()2(,1)1(nnnnnnnnnPnnnnnnPnPnknknknnnnnnnknknnnnkP111212312111)211()211()111()11()(；所以的分布列为：1 2 ⋯k ⋯n Pn1n1⋯n1⋯n1211131211nnnnnnE；nnnnnknnnnnnD1)21(1)21(1)213(1)212(1)211(22222nnnnnn22222)21()321)(1()321(11214)1(2)1()12)(1(611222nnnnnnnnn说明： 复杂问题的简化处理，即从个数较小的看起，找出规律所在，进而推广到一般，方差的公式正确使用后，涉及一个数列求和问题，合理拆项，转化成熟悉的公式，是解决的关键．次品个数的期望例某批数量较大的商品的次品率是5％，从中任意地连续取出10 件，为所含次品的个数，求 E．分析： 数量较大，意味着每次抽取时出现次品的概率都是0.05，可能取值是： 0， 1，2，⋯， 10． 10 次抽取看成10 次独立重复试验，所以抽到次品数服从二项分布，由公式npE可得解．解：由题，05.0,10~ B，所以5.005.010E．说明： 随机变量的概率分布，是求其数学期望的关键．因此，入手时，决定取哪些值及其相应的概率，是重要的突破点．此题kkkCkP1010)05.01()05.0()(，应觉察到这是05.0,10~ B．根据分布列求期望和方差例设是一个离散型随机变量，其分布列如下表，求q 值，并求D E 、．－1 0 1 P 21q 212q 分析： 根据分布列的两个性质，先确定q 的值，当分布列确定时，D E 、只须按定义代公式即可．解： 离散型随机变量的分布满足（1）,,3,2,1,0 i P i （2）.1321P P P 所以有.1,1210,1212122q q q q 解得.211q 故的分布列为－1 0 1 P 21122232231)12(021)1(E .2122321223)]21(1[)12()21(21)]21(1[222D 2232)12(21)22(32.12223123622223小结：解题时不能忽视条件iipkP)(时，10ip，,2,1i否则取了1q的值后，辛辛苦苦计算得到的是两个毫无用处的计算．产品中次品数分布列与期望值例一批产品共100 件，其中有 10 件是次品， 为了检验其质量，从中以随机的方式选取 5 件，求在抽取的这5 件产品中次品数分布列与期望值，并说明 5...