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离散型随机变量的期望与方差

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开锁次数的数学期望和方差例有 n 把看上去样子相同的钥匙,其中只有一把能把大门上的锁打开.用它们去试开门上的锁. 设抽取钥匙是相互独立且等可能的.每把钥匙试开后不能放回.求试开次数的数学期望和方差.分析: 求)(kP时,由题知前1k次没打开,恰第k 次打开.不过,一般我们应从简单的地方入手,如3,2,1,发现规律后,推广到一般.解:的可能取值为1,2,3,⋯, n.;12112121)111()11()3(;111111)11()2(,1)1(nnnnnnnnnPnnnnnnPnPnknknknnnnnnnknknnnnkP111212312111)211()211()111()11()(;所以的分布列为:1 2 ⋯k ⋯n Pn1n1⋯n1⋯n1211131211nnnnnnE;nnnnnknnnnnnD1)21(1)21(1)213(1)212(1)211(22222nnnnnn22222)21()321)(1()321(11214)1(2)1()12)(1(611222nnnnnnnnn说明: 复杂问题的简化处理,即从个数较小的看起,找出规律所在,进而推广到一般,方差的公式正确使用后,涉及一个数列求和问题,合理拆项,转化成熟悉的公式,是解决的关键.次品个数的期望例某批数量较大的商品的次品率是5%,从中任意地连续取出10 件,为所含次品的个数,求 E.分析: 数量较大,意味着每次抽取时出现次品的概率都是0.05,可能取值是: 0, 1,2,⋯, 10. 10 次抽取看成10 次独立重复试验,所以抽到次品数服从二项分布,由公式npE可得解.解:由题,05.0,10~ B,所以5.005.010E.说明: 随机变量的概率分布,是求其数学期望的关键.因此,入手时,决定取哪些值及其相应的概率,是重要的突破点.此题kkkCkP1010)05.01()05.0()(,应觉察到这是05.0,10~ B.根据分布列求期望和方差例设是一个离散型随机变量,其分布列如下表,求q 值,并求D E 、.-1 0 1 P 21q 212q 分析: 根据分布列的两个性质,先确定q 的值,当分布列确定时,D E 、只须按定义代公式即可.解: 离散型随机变量的分布满足(1),,3,2,1,0 i P i (2).1321P P P 所以有.1,1210,1212122q q q q 解得.211q 故的分布列为-1 0 1 P 21122232231)12(021)1(E .2122321223)]21(1[)12()21(21)]21(1[222D 2232)12(21)22(32.12223123622223小结:解题时不能忽视条件iipkP)(时,10ip,,2,1i否则取了1q的值后,辛辛苦苦计算得到的是两个毫无用处的计算.产品中次品数分布列与期望值例一批产品共100 件,其中有 10 件是次品, 为了检验其质量,从中以随机的方式选取 5 件,求在抽取的这5 件产品中次品数分布列与期望值,并说明 5...

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