学习必备欢迎下载空间向量之建立空间直角坐标系的方法及技巧．一、利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系例 1已知直四棱柱ABCD －A1B1C1D 1 中， AA1＝2，底面 ABCD 是直角梯形，∠A 为直角，AB∥CD，AB＝4，AD＝2，DC ＝1，求异面直线BC1 与 DC 所成角的余弦值．解析：如图1，以 D 为坐标原点，分别以DA、DC 、DD 1 所在直线为x、y、z 轴建立空间直角坐标系，则C1（０， 1， 2）、B（2，4，０），∴1( 23 2)BC， ， ，(010)CD， ， ．设1BC 与 CD 所成的角为，则113 17cos17BC CDBCCD．二、利用线面垂直关系构建直角坐标系例 2如图 2，在三棱柱ABC－A1B1C1 中， AB⊥侧面 BB1C1C，E 为棱 CC1 上异于 C、C1 的一点， EA⊥EB1．已知2AB，BB 1＝2，BC＝ 1，∠BCC 1＝3．求二面角A－EB 1－A1 的平面角的正切值．解析：如图2，以 B 为原点，分别以BB 1、BA 所在直线为y 轴、 z 轴，过 B 点垂直于平面AB 1 的直线为 x 轴建立空间直角坐标系．由于 BC＝1，BB1＝2，AB＝2 ，∠ BCC1＝3，∴在三棱柱ABC－A1B1C1中，有 B（０，０，０）、A（０，０， 2 ）、B1（０，2，０）、31 022c，， 、133 022C， ， ．设302Ea， ， 且1322a，学习必备欢迎下载由 EA⊥EB1，得10EA EB，即3322022aa，，，，233(2)2044a aaa，∴13022aa，即12a或32a（舍去）．故3 1 022E，，．由已知有1EAEB ，111B AEB ，故二面角 A－EB1－A1 的平面角的大小为向量11B A 与EA 的夹角．因11(0 02)B ABA，，，31222EA，，故11112cos3EA B AEA B A，即2tan2三、利用面面垂直关系构建直角坐标系例 3如图 3，在四棱锥V－ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD⊥底面 ABCD ．（ 1）证明 AB⊥平面 VAD；（ 2）求面 VAD 与面 VDB 所成的二面角的余弦值．解析：（1）取 AD 的中点 O 为原点，建立如图3 所示的空间直角坐标系．设 AD＝2，则 A（ 1，０，０）、D（－ 1，０，０）、B（1，2，０）、V（０，０，3 ），∴ AB ＝（０， 2，０）， VA ＝（ 1，０，－3 ）．由(0 2 0) (1 03)0AB VA，，，，，得AB⊥VA．又 AB⊥AD，从而 AB 与平面 VAD 内两条相交直线VA、AD 都垂直，∴AB⊥平面 VAD；学习必备欢迎下载（ 2）设 E 为 DV 的中点，则13022E，，∴33022EA，，，33222EB，，，(1 03)DV，，．∴332(1 03)022EB DV...
