应用随机过程全书

应用随机过程 1 一、 随机过程简介 随机过程这一学科最早起源于对物理学的研究，如吉布斯（美国物理化学家、数学物理学家）、玻尔兹曼（奥地利物理学家）、庞加莱（法国数学家）等人对统计力学的研究，及后来爱因斯坦、维纳(Wiener，美国数学家，控制论的创始人)、莱维(Lev y ，法国数学家)等人对布朗运动的开创性工作。1907 年前后，马尔可夫(Markov )研究了一系列有特定相依性的随机变量，后人称之为马尔可夫链。1923 年维纳给出布朗运动的数学定义，直到今日这一过程仍是重要的研究课题。随机过程一般理论的研究通常认为开始于 20 世纪 30 年代。1931 年，柯尔莫哥洛夫发表了《概率论的解析方法》，1934 年辛饮发表了《平稳过程的相关理论》，这两篇著作奠定了马尔可夫过程与平稳过程的理论基础。1953 年，杜布出版了名著《随机过程论》，系统且严格地叙述了随机过程基本理论。一般认为，随机过程整个学科的理论基础是由柯尔莫哥洛夫（Kolmogorov ）和杜布(Doob)奠定的。 第一章 随机过程的基本概念 一、随机过程的定义 例1：医院登记新生儿性别，0 表示男，1 表示女，Xn 表示第n 次登记的数字，得到一个序列 X1 ， X2 ， ···，记为{Xn，n=1,2, ···}，则 Xn 是随机变量，而{Xn，n=1,2, ···}是随机过程。 例2：在地震预报中，若每半年统计一次发生在某区域的地震的最大震级。令 Xn 表示第n次统计所得的值，则 Xn 是随机变量。为了预测该区域未来地震的强度，我们就要研究随机过程{Xn，n=1,2, ···}的统计规律性。 例3：一个醉汉在路上行走，以概率 p 前进一步，以概率 1-p 后退一步（假设步长相同）。以 X(t)记他 t 时刻在路上的位置，则{X(t), t0}就是（直线上的）随机游动。 例4：乘客到火车站买票，当所有售票窗口都在忙碌时，来到的乘客就要排队等候。乘客的到来和每个乘客所需的服务时间都是随机的，所以如果用 X(t)表示t 时刻的队长，用 Y(t)表示t 时刻到来的顾客所需等待的时间，则{X(t), tT}和{Y(t), tT}都是随机过程。 定义：设给定参数集合 T，若对每个tT, X(t)是概率空间),,(P上的随机变量，则称{X(t), tT}为随机过程，其中 T 为指标集或参数集。 EXt:)(，E 称为状态空间，即 X(t)的所有可能状态构成的集合。 例1：E 为{0,1} 例2：E 为[0, 10] 例3：E 为},2,2,1,1,0{ 应用随机过程 2 例4：E 都为),0[ 注：（...