数值分析原理第八章

148 第八章 矩阵特征值和特征向量的计算 对于n× n 阶的实矩阵A ，线性代数理论中是通过求解特征多项式)det(IA的零点而得到特征值，然后通过求得齐次线性方程组0xIA)(的非零向量x而得到矩阵A 的相应于特征值 的特征向量．当矩阵阶数较高时，这种方法计算量很大，故常用数值方法近似求解特征值与特征向量．目前常用的数值方法有迭代法(幂法)和变换法(Jacobi 方法等)两类． §8.1 乘幂法与反幂法 一、乘幂法 乘幂法是求矩阵按模最大的特征值(主特征值)和相应的特征向量的一种迭代法． 设nn RA，初始向量)()0()0(0VRVn，令 )1()(kkAVV (8.1) 生成迭代向量序列 )(kV．由递推公式(8.1)，知 )0()2(2)2()()(VAVAAVAVkkkk (8.2) 这表明)(kV等于用矩阵A 的k 次幂左乘)0(V，故称此方法为乘幂法． 下面分析当k→∞时，向量序列 )(kV的变化规律． 设1 ，2 ，… ，n 为矩阵nn RA的n 个特征值，且满足 n21 (8.3) 相应于特征值1 ，2 ，… ，n 的n 个线性无关的特征向量nxxx,,,21构成向量空间n 上的一组基． 任取非零的初始向量nRV)0(，则)0(V可由这组特征向量线性表出 njjjnncccc12211)0(xxxxV (8.4) 其中nccc,,,21为线性组合系数．将式(8.4)代入式(8.2)，得 1 4 9 )(11)(jknjjjnjjkkccxAxAV (8 .5 ) 由jkjjkxxA和式(8 .5 )，得 jkjnjjkcxV1)( (8 .6 ) 当01 时，由式(8 .3 )知，特征值0n21．下面针对01 进行讨论． 由式(8 .6 )有 jkjnjjkkccxxV12111)( 由于njj,,3,2,11，故若01 c，当k 充分大时，0xε jkijnjjkc2，此时有 111)(xVckk (8 .7 ) 上式表明，)(kV与1x 只近似相差一个常数因子，故可取)(kV作为矩阵 A 的相应于主特征值1 的近似特征向量．当k 充分大时，若 0)(kiV，则有 11111111)()1()()(ikikkikiccVVxx (8 .8 ) 这表明主特征值1 可由式(8 .8 )近似求得． 如果矩阵 A 的特征值满足 nll1121, 则根据式(8 .6 )有 jkjnljjjljjkkccxxV1111)( (8 .9 ) 则当k 充分大时，由于),,1(...