无理方程解法

无理方程解法 根号下含有未知数的方程，叫做无理方程． 1． 平方法解无理方程 例1 解方程 71xx 分析：移项、平方，转化为有理方程求解． 解：移项得：71xx 两边平方得：2721xxx 移项，合并同类项得：260xx 解得：3x   或2x  检验：把3x   代入原方程，左边 右边，所以3x   是增根． 把2x 代入原方程，左边 = 右边，所以2x 是原方程的根． 所以，原方程的解是2x ． 说明：含未知数的二次根式恰有一个的无理方程的一般步骤： ①移项，使方程的左边只保留含未知数的二次根式，其余各项均移到方程的右边；②两边同时平方，得到一个整式方程；③解整式方程；④验根． 例2 解方程 3233xx 分析：直接平方将很困难．可以把一个根式移右边再平方，这样就可以转化为上例的模式，再用例4 的方法解方程． 解：原方程可化为：3233xx 两边平方得：329633xxx 整理得：63142337xxxx 两边平方得：29(3)4914xxx 整理得：223220xx，解得：1x 或22x ． 检验：把1x 代入原方程，左边=右边，所以1x 是原方程的根． 把22x 代入原方程，左边 右边，所以22x 是增根． 所以，原方程的解是1x ． 例3 解方程 解 移项得 两边平方后整理得 再两边平方后整理得x2＋3x-28＝0， 所以 x1=4，x2=-7． 经检验知，x2=-7 为增根，所以原方程的根为x=4． 说明：含未知数的二次根式恰有两个或三个的无理方程的一般步骤： ①移项，使方程的一边只保留一个含未知数的二次根式；②两边平方，得到含未知数的二次根式恰有一个的无理方程；③一下步骤同例 4 的说明． 2． 换 元法解无理方程 例 4 解方程 2231 52512xxxx 分析：本题若直接平方，会得到一个一元四次方程，难度较大．注意观察方程中含未知数的二次根式与其余有理式的关系，可以发现：2231 533 (51 )xxxx．因此，可以设251xxy，这样就可将原方程先转化为关于 y 的一元二次方程处理． 解：设251xxy，则22225131 53 (1 )xxyxxy  原方程可化为：23 (1 )22yy， 即23250yy，解得：1y 或53y  ． (1 )当1y 时，225115010xxxxxx  或； (2 )当53y  时，因为2510xxy，所以方程无解． 检验：把1,0xx...