1 由《集合中元素的个数》到“莎士比亚巧合”-------容斥原理的应用举例莎士比亚是英国著名戏剧家,其不仅才华横溢,更有一个有趣的巧合流传甚广。他生于1564 年 4 月 23 日,卒于 1616 年 4 月 23 日,生卒日期相同. 下面, 我们就从这个巧合说起,谈谈组合数学中最重要原理之一的容斥原理.例 1 若按每年 365 天计算, 且一个人生卒日期均是随机的,则他生卒日期相同的概率是多少?显然是3651.试问,两个人都生卒日期相同呢?两个人中至少一个人生卒日期相同的概率呢?如果是N 个人呢?为解决这个问题,可参考普通高中数学课程标准 (实验)中,必修课程 (数学 1)13页阅读与思考 《集合中元素的个数》一节的内容。 对求多个集合的元素总个数,这样解释:).()()()(,,BAcardBcardAcardBAcardBA有有限集合一般地,对于任意两个(card(A)表示有限集合A 中元素的个数) ,这实质就是两个集合的容斥关系的体现. 如果被计数的事物有A、B 两类,那么,A 类 B 类元素个数总和= 属于 A 类元素个数 + 属于 B 类元素个数 — 既是 A 类又是 B 类的元素个数 . ).()()()(BAcardBcardAcardBAcard作:两个集合的容斥关系记如果被计数的事物有A、B、C 三类,那么, A 类和 B 类和 C 类元素个数总和= A 类元素个数 + B 类元素个数 +C 类元素个数 — 既是 A 类又是 B 类的元素个数 — 既是 A 类又是 C类的元素个数 — 既是 B 类又是 C 类的元素个数 +既是 A 类又是 B 类而且是 C 类的元素个数. 三个集合的容斥关系公式记作:).()()()()()()()(CBAcardACcardCBcardBAcardCcardBcardAcardCBAcard现详细推理如下:Venn 图分块标记如右图:1245 构成 A ,2356 构成 B,4567 构成 C 上式简记为:A∪B∪C = {[(A+B - A∩B )+C - B∩ C] - C∩ A }+ A ∩ B∩C(1) 等式左边指的是右图中的 1+2+3+4+5+6+7 七部分;(2)等式右边()指的是右图中的1+2+3+4+5+6 六部分;(3)等式右边[ ] 相当于 A∪B∪C 多加了 4 ;(4)等式右边{ } 相当于 A∪B∪C 多减了 5;(5)而A∩B∩C 就是 5.则加上 A∩B∩C,刚好是A∪B∪C . 对于 n 个集合不难推理类似定理,即19世纪英国数学家西尔维斯特(2 .AA(.)1(---),2,1(11-1111表示)元素的个数用集合都是有限集合,则有容斥原理:设ininnjikjinjijiniiiniiAAAAAAAAniA下我们思考例 1所提问题,...