下载后可任意编辑【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。】第二十四讲 带余除法与同余阅读与思考“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”这就是我国古代《孙子算经》里引人注目的“物不知其数”问题。题意就是说：“一个数除以 3 余 2，除以 5 余 3，除以7 余 2，求适合条件的自然数（一般是求最小自然数）。”这一问题就是在有余数除法里（也称带余除法）求被除数的问题，这一问题显然比上讲中求最小公倍数要复杂。那么这道题怎样解呢？关于它的解法引出了许多有趣的故事。例如我国明朝的大数学家程大为是用四句诗解答这类问题的：“三人同行七十稀，五树梅花二一枝，七子团圆正月半，除百零五便是知。”意思是说：“将除以 3 的余数乘 70，将除以 5 的余数乘 21，除尘以 7 的余数乘 15，然后将这三个积加起来减去 105 的倍数，所得的差就是所要求的数。”这种解法就是“中国剩余定理”，也称为“孙子定理”，这一定理是世界上最早提出的关于同余问题的算法，南宋大数学家秦九韶对它进行了讨论和完善，使当时中国的数学水平达到了世界的顶峰。它充分显示了中华民族的聪慧才智和我国灿烂悠久的历史文化，课后同学们可以去仔细钻研。诚然，本题最简便的解法是用列举法（因为数据不是很复杂）。在有余数除法里，有下面一些重要的概念、数量关系和性质：1、除法关系式：被除数=除数×商＋余数（0≤余数＜除数）2、假如 a 除以 b 所得的余数为 r，那么（a－r）一定能被 b 整除。3、同余的概念和性质。一般来说，假如整数 a、b 同除以一个自然数 n（n＞1）所得的余数相同，我们就说 a、b 对于模 n 同余，简称 a 与 b 同余，记作 a≡b（modn）。① 假如整数 a、b 对于模 n 同余，那么它们的差 a－b(或 b－a)一定能被 n 整数；② 假如 a－b(或 b－a)能被 n 整除，那么 a≡b（modn）；③ 假如 a≡b（modn），b≡c（modn），那么 a≡c（modn）；④ 假如 a≡b（modn）,c≡d（modn），那么（a＋c）≡(b＋d)（modn）；⑤ 假如 a≡b（modn）,c≡d（modn），那么 ac≡bd（modn）；⑥ 假如 a≡b（modn）,m 为比 1 大的自然数，则 am≡bm（modn）；⑦ 一个数分别除以另外几个数，假如所得的余数都相同，那么这个数减去余数的差是另外几个数的公倍数。⑧ 一个数分别除另外几个数，假如所得的余数相同，那么这几个数两...
