函数的奇偶性与周期性 ◆高考导航·顺风启程◆ 最新考纲 常见题型 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义． 2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性． 3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性. 多以选择、填空题形式出现，且奇偶性多与单调性相结合，周期性多与抽象函数相结合，或结合奇偶性求函数值为主，占 4～5 分，中档题为主. [知识梳理] 1．函数的奇偶性 奇函数 偶函数 定义 定义域 函数 f(x)的定义域关于 原点 对称 x 对于定义域内的 任意 一个 x f(x)与 f(－x)的关系 都有 f(－x) ＝ －f(x) 都有 f(－x)＝ f(x) 结论 函数 f(x)为奇函数 函数 f(x)为偶函数 图象特征 关于 原点 对称 关于 y 轴 对称 2．周期性 (1)周期函数：对于函数 y＝f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f(x＋T)＝f(x) ，那么就称函数 y＝f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个 最小 的正数，那么这个 最小 正数就叫作 f(x)的最小正周期． [知识感悟] 1．辨明三个易误点 (1)应用函数的周期性时，应保证自变量在给定的区间内． (2)判断函数的奇偶性，易忽视函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件． (3)判断函数 f(x)是奇函数，必须对定义域内的每一个 x，均有 f(－x)＝－f(x)，而不能说存在 x 使 f(－x)＝－f(x)，对于偶函数的判断以此类推． 2．活用周期性三个常用结论 对 f(x)定义域内任一自变量的值 x： (1)f(x＋a)＝f(x－a)，则T＝2a； (2)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a； (3)若f(x＋a)＝1fx，则T＝2a； (4)若f(x＋a)＝－1fx，则T＝2a. 3．奇、偶函数的三个性质 (1)在奇、偶函数的定义中，f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式． (2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法． (3)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． [知识自测] 1．给出下列命题： ①函数f(x)＝0，x∈(0，＋∞)既是奇函数又是偶函数． ②若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线 x＝a 对称． ③若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关...
