运用三角形内角和及外角知识解题一、角的计算例1 如图 1 所示，在△ ABC 中，∠ B 的平分线与∠ C 的外角平分线交于D，且∠ D=30° ，求∠ A 的度数．分析：∠ D 位于△ BCD 中，∠ A 位于△ ABC 中，它们位于两个不同的三角形之中，欲利用三角形角的相关定理解决问题，就必须寻求两个三角形之中内角之间的关系，角平分线的条件为我们提供了信息，事实上∠DBC= 21∠ABC ，∠ DCB= ∠ACB+ ∠ACD 解：由已知，∠D=30 °故在△ BCD 中，∠ CBD+ ∠BCD=180 ° -30°=150°①∵BD 是∠ ABC 的平分线所以∠ CBD= 21∠ABC ②又因为 CD 是∠ ACE 的平分线所以∠ ACD= 21∠ACE 从而∠ BCD= ∠ACB+ 21∠ACE= ∠ACB+ 21（∠ A+ ∠ABC ）（三角形外角定理）③由①、②、③得21∠ABC+ ∠ACB+ 21（∠ A+∠ABC ）=150°即 21∠A+ ∠ABC+ ∠ACB=150 °21∠A=180 ° -150° =30°∴∠ A=60 °A B C D E 图 1 点评：解决本题的关键在于两条角平分线架起了与之间的桥梁，完成了从已知向未知的过渡，细心审题，发现已知与所求之间的联系常是解题的关键．例2 如图 2 所示， ∠A=10 ° ，∠ABC=90 ° ，∠ACB= ∠DCE，∠ADC= ∠EDF ，∠CED=∠FEG，求∠ F 的度数．分析：如果我们能注意到所给的一系列等角条件正反映了内角与外角的关系，问题就不难解决，例如，在∠ACB= ∠DCE 中，∠ ACB 是△ ABC 的一个内角，∠DCE 是△ ACD 的外角，∠ADC= ∠ EDF 及∠ CED= ∠ FEG 两个等式两边的角边是类似情况，这就为我们利用外角定理解题创造了条件．解：在△ ABC 中，∠ A=10 ° ，∠ ABC=90 ° ，所以∠ ACB=80 °因为∠ DCE= ∠ACB=80 °对△ ACD 而言，因为∠ DCE 是它的一个外角所以∠ DCE= ∠A+∠ADC 即 80° =10° +∠ADC 所以∠ ADC=70 ° ，∠ EDF= ∠ADC=70 °对△ ADE 而言，因为∠ EDF 是它的一个外角所以∠ EDF=∠A+ ∠AED 即 70° =10° +∠AED 所以∠ AED=60 °∠EFG= ∠CED= ∠ AED=60 °对△ AEF 而言，因为∠ FEG 是它的一个外角所以∠ FEG= ∠A+ ∠F 所以∠ F=∠FEG-∠A=60 °-10° =50°二、证明与角有关的问题例 3 如图 3，△ ABC 中， AD、 BE 交于点 F 求证：∠ AFB= ∠1+∠2+∠ C 证明：因为∠ AFB= ∠1+∠ AEB 是的外角所以∠ AEF 因为是△ BCE 的外角所以∠ AEF= ∠2+∠C 所以∠ AFB= ∠1+∠2+∠C A B D F G C G 图 2 A B D C E F 1 2 ）图 3
