ﻫ双曲线知识点及试题一.重点、难点:重点：双曲线的定义、方程、几何性质．掌握双曲线的标准方程的推导及标准方程.ﻫ难点:理解参数ａ、ｂ、c、e的关系及渐近线方程．二.主要知识点1、双曲线的定义：平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数(小于|Ｆ1Ｆ2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做焦距．说明：双曲线的定义用代数式表示为|｜MF1|－｜ＭF2｜|=2a,其中2a<|F1F２|,这里要注意两点：(1)距离之差的绝对值.(２）2a<｜F1F2|,这两点与椭圆的定义有本质的不同.当|MF1|－|ＭF2｜=２a时，双曲线仅表示焦点F2所对应的一支;当|MF1｜－|MＦ2|=－2a时，双曲线仅表示焦点Ｆ1所对应的一支;当2a=|Ｆ1F2｜时，轨迹是一直线上以F１、Ｆ2为端点向外的两条射线；ﻫ当2a＞|Ｆ１F2|时，动点轨迹不存在.ﻫ2、标准方程的推导ﻫ)1(建系设点建立坐标系应遵循简单和优化的原则,如使关键点的坐标、关键几何量(距离、直线斜率等)的表达式简单化,注意充分利用图形的对称性,使学生认识到下列选取方法是恰当的.ﻫ以两定点Ｆ1、Ｆ２的直线为x轴,线段F１F2的垂直平分线为ｙ轴,建立直角坐标系(如图）.设|F1F２｜=2ｃ(c＞０），Ｍ(x，y）为双曲线上任意一点,则有Ｆ1（－c,0），F２（ｃ,0）.(2）点的集合由定义得出椭圆双曲线集合为:P＝{Ｍ｜|ＭF1-MＦ２|=2ａ}.（３）代数方程(4)化简方程(其中c2=a２＋ｂ２）ﻫ３、两种双曲线性质的比较焦点在x轴上的双曲线焦点在y轴上的双曲线几何条件与两个定点的距离差的绝对值等于常数（小于这两个定点之间的距离)ﻫ标准ﻫ方程－＝1(ａ>０，ｂ>０)－=1(ａ>0,b>0)图形范围|ｘ|≥a｜y｜≥ａﻫ对称性x轴，y轴,原点ﻫ顶点坐标(±a，0)（0，±a)ﻫ实轴虚轴x轴,实轴长2ay轴，虚轴长２ｂy轴,实轴长２ax轴,虚轴长2b焦点坐标(±c,０）c=（0，±ｃ）c＝离心率ﻫe=,e>1渐近线y=±xy＝±x4、方法小结（１)由给定条件求双曲线的方程,常用待定系数法.首先是根据焦点位置设出方程的形式（含有参数)，再由题设条件确定参数值，应特别注意:①当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，应防止遗漏;②已知渐近线的方程ｂx±ay＝0,求双曲线方程，可设双曲线方程为ｂ2x2-a2ｙ2＝λ(λ≠0),根据其他条件确定λ的值.若求得λ＞０，则焦点在ｘ轴上,若求得λ<０,则焦点在y轴上.ﻫ)2）由已知双曲线的方程求基本量，注意首先应将方程化为标准形式,再计算,并要特别注意焦点位置,防止将焦点坐标和准线方程写错.ﻫ)3）双曲线中有一个重要的Ｒt△OAB(如下图）,它的三边长分别是a、b、c．易见c２＝ａ2＋b2，若记∠AOB＝θ，则e＝=．ﻫ)4(参数a、b是双曲线的定形条件，两种标准方程中,总有ａ＞０,b>0；双曲线焦点位置决定标准方程的类型；ａ、b、ｃ的关系是c２=a2+b2;在方程Ax２+By2＝C中,只要AB＜0且C≠0,就是双曲线的方程.(５)给定了双曲线方程，就可求得确定的两条渐近线．但已知渐近线方程，只是限制了双曲线张口的大小，不能直接写出双曲线方程．但若已知渐近线方程是±=０，则可把双曲线方程表示为-=λ（λ≠０),再根据已知条件确定λ的值,求出双曲线的方程．【典型例题】例1．根据下列条件,求双曲线方程:（1)与双曲线－=1有共同的渐近线，且过点（-3，2）;ﻫ（２）与双曲线-=１有公共焦点，且过点(3,2）．（3）求中心在原点,两对称轴为坐标轴,并且经过Ｐ(3,）Q（，5）．ﻫ剖析：设双曲线方程为－＝1，求双曲线方程,即求a、ｂ，为此需要关于a、ｂ的两个方程，由题意易得关于a、b的两个方程．ﻫ解法一：（１）设双曲线的方程为－＝１,ﻫ由题意得ﻫ解得ａ2＝，ｂ2＝4．所以双曲线的方程为-=1．ﻫ)2）设双曲线方程为－=１．由题意易求c=２．ﻫ又双曲线过点（3，2),-ﻫ=∴1.又 ａ2+b2=（2)2，∴a２＝12,b2＝8．ﻫ故所求双曲线的方程为-=１．解法二：(1）设所求双曲线方程为-=λ(λ≠0），将点(－3，2)代入得λ=,所以双曲线方程为－=.（2)设双曲线方程为-＝１，ﻫ将点（3，2）代入得k＝4,所以双曲线方程为-=１.ﻫ评述：求双曲线的方程,关键是求a、ｂ,在解题过程中应熟悉各元素(a、b、c、e）之间的关系，并注意方程思想的应用.若已知双曲线的渐近线方程ax±by＝0,可设...
