函数的奇偶性与周期性知识点和经典试题本节知识点详解:1.函数的奇偶性奇偶性定义如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个偶函数x,都有f(-x)=f(x),那么函数 f(x)是偶函数如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个奇函数x,都有f(-x)=-f(x),那么函数 f(x)是奇函数2.函数的周期性(1)周期函数:对于函数 y=f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数 y=f(x)为周期函数,称 T 为这个函数的周期.(2)最小正周期:如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期.重要结论:1.函数奇偶性的四个重要结论(1)如果一个奇函数 f(x)在原点处有定义,即 f(0)有意义,那么一定有 f(0)=0.(2)如果函数 f(x)是偶函数,那么 f(x)=f(|x|).(3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两关于原点对称关于y 轴对称图象特点个对称的区间上具有相反的单调性.(4)奇函数的图像在对称的区间上单调性相同,偶函数在对称的区间上单调性相反。(5)运算性质①“奇+奇”是奇,“奇-奇”是奇,“奇·奇”是偶,“奇÷奇”是偶;②“偶+偶”是偶,“偶-偶”是偶,“偶·偶”是偶,“偶÷偶”是偶;③“奇·偶”是奇,“奇÷偶”是奇.2.函数周期性的三个常用结论对 f(x)定义域内任一自变量的值 x:(1)若 f(x+a)=-f(x),则 T=2a;1(2)若 f(x+a)=,则 T=2a;fx1(3)若 f(x+a)=-,则 T=2a.(a>0)fx3.函数对称性的三个常用结论(1)若函数 y=f(x+a)是偶函数,即 f(a-x)=f(a+x),则函数 y=f(x)的图象关于直线 x=a 对称;(2)若对于 R 上的任意 x 都有 f(2a-x)=f(x)或 f(-x)=f(2a+x),则 y=f(x)的图象关于直线 x=a 对称;(3)若函数 y=f(x+b)是奇函数,即 f(-x+b)+f(x+b)=0,则函数 y=f(x)关于点(b,0)中心对称.经典选题一、判断题:判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里打“√”,错误的打“×”.(1)函数 y=x2,x∈(0,+∞)是偶函数.()(2)偶函数图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点.()(3)如果函数 f(x),g(x)为定义域相同的偶函数,则 F(x)=f(x)+g(x)是偶函数.()(4)若函数 y=f(x+a)是偶函数,则函数 y=f(x)关于直线 x=a 对称.()(5)若函数 y=f(x+b)是奇函数,则函数 y=f(x)关于点(b,0)中心对称.答案:(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√二...