现代控制理论东北大学高立群清华大学出版社第5章

第5 章 控制系统的李雅普诺夫稳定性分析习题与解答 5.1 判断下列函数的正定性 1) 2221231213()2322Vxxxx xx xx 2) 222123121323()82822Vxxxx xx xx xx 3) 22131223()2Vxxx xx xx 解 1) TT211()130101VAxxxxx , 因为顺序主子式 2120,50,13 21113020101 所以0A，()Vx 为正定函数。 2) TT841()421111Vxx Axxx, 因为主子式 8481218, 2, 10,0,70,10,421111 841421164421680111 所以A 不定，()Vx 为不定函数。 3) TT1212110()1001Vxx Axxx , 因为顺序主子式 1110,10,10  1212110110010401 所以A 为不定矩阵，()Vx 为不定函数。 5.2 用李雅普诺夫第一方法判定下列系统在平衡状态的稳定性。 2211211222212212()()xxxxxxxxxxxx   解 解方程组 22121122212212()0()0xxxxxxxxxx 只有一个实孤立平衡点（0，0）。 在（0，0）处将系统近似线性化，得**1111xx ，由于原系统为定常系统，且矩阵1111的特征根1si 均具有负实部，于是根定理 5.3 可知系统在原点（0，0）附近一致渐近稳定。 5.3 试用李雅普诺夫稳定性定理判断下列系统在平衡状态的稳定性。 1123 xx 解 由于题中未限定利用哪一种方法，且系统为线性定常系统，所以利用李雅普诺夫第一方法比较合适。经计算知矩阵1123的特征根为230。由于第一方法关于线性系统稳定性的结果是的全局性的，所以系统在原点是大范围渐近稳定的。 5.4 设线性离散时间系统为 010(1)001( ) m >0020kkm xx 试求在平衡状态系统渐近稳定的m 值范围。 解 方法1 令,QI 建立离散系统李雅普诺夫方程T GPGPQ ，得 111213111213122223122223132333132333000010100100010102001000102ppppppmpppppppppmppp       1112131333231113121222231323332312220001000()010222200102pppmpmpmpmPpPppppppmppp...