现代数值计算方法公式总结

现代数值计算方法公式 一、 插值法 1.拉格朗日（Lagrange）插值法 a)两点一次： ᵃ1(ᵆ) = ᵆ − ᵆ1ᵆ0 − ᵆ1ᵆ0 + ᵆ − ᵆ0ᵆ1 − ᵆ0ᵆ1 ᵄ1(ᵆ) = ᵅ(ᵆ) − ᵃ1(ᵆ) = ᵅ′′(ᵰ)2!(ᵆ − ᵆ0)(ᵆ − ᵆ1) (ᵆ0 < ξ < ᵆ1) b )三点二次： ᵃ2(ᵆ) = (ᵆ − ᵆ1)(x − ᵆ2)(ᵆ0 − ᵆ1)(ᵆ0 − ᵆ2) ᵆ0 + (ᵆ − ᵆ0)(ᵆ − ᵆ2)(ᵆ1 − ᵆ0)(ᵆ1 − ᵆ2) ᵆ1 + (ᵆ − ᵆ0)(ᵆ − ᵆ1)(ᵆ2 − ᵆ0)(ᵆ2 − ᵆ1) ᵆ2 ᵄ2(ᵆ) = ᵅ(ᵆ) − ᵃ2(ᵆ) = ᵅ3(ᵰ)3!(ᵆ − ᵆ0)(ᵆ − ᵆ1)(ᵆ − ᵆ2) (ᵆ0 < ξ < ᵆ2) 2.牛顿（New ton）插值 a)n 次牛顿法多项式： ᵄᵅ(ᵆ) = ᵅ(ᵆ0) + ᵅ[ᵆ0, ᵆ1](ᵆ − ᵆ0) + ⋯ + ᵅ[ᵆ0, ᵆ1, … ᵆᵅ](ᵆ − ᵆ0) … (ᵆ − ᵆᵅ−1) ᵄᵅ(ᵆ) = ᵅ(ᵆ) − ᵄᵅ(ᵆ) = ᵅ(ᵅ+1)(ᵰ)(ᵅ + 1)! ᵱᵅ+1(ᵆ) (ᵆ0 < ξ < ᵆᵅ) 其中ᵱᵅ+1(ᵆ) = (ᵆ − ᵆ0)(ᵆ − ᵆ1) … (ᵆ − ᵆᵅ−1) ᵉᵈ ᵈ(ᵉᵈ) 一阶 差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商 ᵉᵼ ᵈ(ᵆᵼ) ᵅ[ᵆ0, ᵆ1] ᵅ[ᵆ1, ᵆ2] ᵅ[ᵆ2, ᵆ3] ᵅ[ᵆ3, ᵆ4] ᵅ[ᵆ0, ᵆ1, ᵆ2, ᵆ3] ᵅ[ᵆ1, ᵆ2, ᵆ3, ᵆ4] ᵉᵼ ᵈ(ᵆᵼ) ᵅ[ᵆ0, ᵆ1, ᵆ2] ᵉᵽ ᵈ(ᵆᵽ) ᵅ[ᵆ1, ᵆ2, ᵆ3] ᵅ[ᵆ0, ᵆ1, ᵆ2, ᵆ3, ᵆ4] ᵉᵽ ᵈ(ᵆᵽ) ᵅ[ᵆ2, ᵆ3, ᵆ4] ᵉᵽ ᵈ(ᵆᵽ) ᵈ[ᵆ0, ᵆ1] = ᵅ(ᵆ1) − ᵅ(ᵆ0)ᵆ1 − ᵆ0 ᵈ[ᵆ0, ᵆ1, ᵆ2] = ᵅ[ᵆ1, ᵆ2] − ᵅ[ᵆ0, ᵆ1]ᵆ2 − ᵆ0 b)向前差分： ᵄᵅ(ᵆ0 + ᵆℎ) = ᵆ0 + ᵆΔᵆ0 + ⋯ + ᵆ(ᵆ − 1)(ᵆ − 2) … (ᵆ − ᵅ + 1)ᵅ!Δᵅᵆ0 ᵄᵅ(ᵆ0 + ᵆℎ) = ᵆ(ᵆ − 1)(ᵆ − 2) … (ᵆ − ᵅ)(ᵅ + 1)!ℎᵅ+1ᵅ(ᵅ+1)(ᵰ) (ᵆ0 < ξ < ᵆᵅ) ᵉᵈ ᵉᵈ ᵪᵉᵈ ᵪᵽᵉᵈ ᵪᵽᵉᵈ ᵪᵽᵉᵈ ᵉᵼ ᵉᵼ ᵪᵉᵼ ᵪᵉᵼ ᵪᵉᵽ ᵪᵉᵽ ᵪᵽᵉᵼ ᵪᵽᵉᵼ ᵉᵼ ᵉᵼ ᵪᵽᵉᵼ ᵉᵽ ᵉᵽ ᵪᵽᵉᵼ ᵪᵽᵉᵼ ᵉᵽ ᵉᵽ ᵪᵽᵉᵽ ᵉᵽ ᵉᵽ ᵪᵉᵈ = ᵉᵈ+ᵼ − ᵉᵈ ᵪᵽᵉᵈ = ᵪᵉᵈ+ᵼ − ᵪᵉᵈ 下减上 c)向后差分： ᵄᵅ(ᵆᵅ + ᵆℎ) = ᵆᵅ + ᵆ∇ᵆᵅ + ⋯ + ᵆ(ᵆ + 1) … (ᵆ + ᵅ...