第七章插值函数

第七章 插值函数 实践中常有这样的问题：由实验得到某一函数y = f (x)在一系列点x0, x1,„, xn 处的值y0, yi,„, yn，其函数的解析表达式是未知的，需要构造一个简单函数P(x)作为y = f (x)的近似表达式；或者y = f (x)虽有解析式，但计算复杂，不便于使用，需要用一个比较简单且易于计算的函数P (x)去近似代替它；本章所介绍的插值法就是建立这种近似公式的基本方法。 §1 代数插值 设已知某个函数关系y = f (x)在某些离散点上的函数值： nnyyyyyxxxxx210210 （6.1） 插值问题就是根据这些已知数据来构造函数y = f (x)的一种简单的近似表达式，以便于计算点ixx 的函数值)( xf，或计算函数的一阶、二阶导数值。一种常用的方法就是从多项式中选一个Pn(x)，使得 niyxPiin,,2,1,0,)( （6.2） 作为f (x)的近似。因为多项式求值方便，且还有直到n 阶的导数。我们称满足关系（6.2）的函数Pn(x)为f (x)的一个插值函数，称 x0, x1,„, xn 为插值节点，并称关系（6.2）为插值原则。 这种用代数多项式作为工具来研究插值的方法叫做代数插值。 设 x0 < x1< „< xn 记 a = x0, b = xn，则 [a, b] 为插值区间。 插值多项式存在的唯一性： 设所要构造的插值多项式为： nnnxaxaxaaxP2210)( 由插值条件 niyxPiin,,1,0)( 得到如下线性代数方程组： nnnnnnnnnyaxaxayaxaxayaxaxa101111000100111 此方程组的系数行列式为 nijjinnnnnnxxxxxxxxxxxD0212110200)(111 此为范得蒙行列式，在线性代数课中，已经证明当jixx ，;,2,1ni nj,2,1时，D  0，因此，Pn(x)由a0, a1,„, an 唯一确定。 §2 拉格朗日（Lagrange 插值） 1．线性插值 线性插值也叫两点插值，已知函数y = f (x)在给定互异点x0, x1上的值为y0= f (x0)，y1= f (x1)线性插值就是构造一个一次多项式 P1(x) = ax + b 使它满足条件 P1 (x0) = y0 P1 (x1) = y1 （6.3） 其几何解释就是一条直线，通过已知点 A (x0, y0)，B(x1, y1)。 由解析几何，过两点 A、B 的直线方程可写为： )()(0010101xxxxyyyxP （点斜式） （6.4） 或改写成 101001011)(yxxxxyxxxxxP （对称式） （6.5） 容易验证，P1(x)就是所求的一次多项多，称为f (x)的线性...