第三章能带的计算方法

1 第三章 能带的计算方法 周期场中的单电子波动方程除了少数几种简单的理想模型外，都只能用近似方法求解。目前，主要的近似方法有：准自由电子近似，紧束缚近似，原胞法，正交化平面波法，赝势法和PK 法等。每一种近似方法都有其优点，也有其局限性，只能用于一定的情况。在这一章中简单介绍两种。 §3-1 准自由电子近似法 在这种近似方法中假设原子的外层电子在晶体的周期性势场中运动，且势能的周期性变化部分很小，可作为微扰来处理。这种处理，电子的运动一方面和自由电子相近，另一方面又能反映出周期场中运动的电子所具有的周期性特征。这种方法较粗糙，适用于金属中的电子。 一．一维情况 设周期为 a、长度为 L 的线状晶体沿 x 方向。电子波动方程为 )()()](2[222xExxVdxdm  （3-1） 式中，02000)(maxmimmxiKmeVVeVVxVm （maKm2为任意倒格矢）具有晶格的周期性，V0 是电子在晶体中的平均势能。由于V(x)为实数，故有 *mmVV 令：W(x)为势函数中周期性变化部分，则 02)(maxmimeVxW （3-2） 于是波函数可改写为 )()()](2[0222xExxWVdxdm  （3-3） 根据准自由电子近似的基本假设，W(x)很小，可当作微扰。从而可先求解无微扰的电子波动方程 )()(]2[0000222xExVdxdmkk  （3-4） 其解为平面波 ikxkeLx1)(0 （3-5） 相应的能量谱值 02202)(VmkkE  （3-6） 这里，k 是平面波的波矢量。在周期性边界条件下，k 只能取断续值： 2 lLk2，,3,2,1,0l 这些满足周期性边界条件的平面波彼此正交并归一化 '''',,0)(20)(11llkkLLxlliLxkkidxeLdxeL  （3-7） 当存在周期性变化的微扰W(x )时，波动方程的零级能量谱值为E0(k )。下面分两种情况讨论。 1．非简并情况。选择零级近似波函数为平面波，从而根据量子力学公式，能量一级修正项为 LdxxxWxWkEkk1)()()()()0()*0(,)1(020maxmiLmdxeV=0 （3-8） 故能量一级修正为零。进一步计算需考虑微扰矩阵元kkW,' kkW,'LdxxxWxkk1)()()()0()*0(''0)2(0'mxmakkiLmdxeV makkmmV2,0'makkmV2,' （3-9） 故能量谱值的二级修正为 022222'002,)2()2(22)()()(''nnkkkknakmmkVkEkEWkE （3-10） 波函数的一级修正为 )()1(xk...