第三讲 最短路线问题 通常最短路线问题是以“平面内连结两点的线中，直线段最短”为原则引申出来的．人们在生产、生活实践中，常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题。 在本讲所举的例中，如果研究问题的限制条件允许已知的两点在同一平面内，那么所求的最短路线是线段；如果它们位于凸多面体的不同平面上，而允许走的路程限于凸多面体表面，那么所求的最短路线是折线段；如果它们位于圆柱和圆锥面上，那么所求的最短路线是曲线段；但允许上述哪种情况，它们都有一个共同点：当研究曲面仅限于可展开为平面的曲面时，例如圆柱面、圆锥面和棱柱面等，将它们展开在一个平面上，两点间的最短路线则是连结两点的直线段。 这里还想指出的是，我们常遇到的球面是不能展成一个平面的．例如，在地球（近似看成圆球）上 A、B 二点之间的最短路线如何求呢？我们用过A、B 两点及地球球心 O 的平面截地球，在地球表面留下的截痕为圆周（称大圆），在这个大圆周上 A、B 两点之间不超过半个圆周的弧线就是所求的A、B 两点间的最短路线，航海上叫短程线．关于这个问题本讲不做研究，以后中学会详讲。 在求最短路线时，一般我们先用“对称”的方法化成两点之间的最短距离问题，而两点之间直线段最短，从而找到所需的最短路线．像这样将一个问题转变为一个和它等价的问题，再设法解决，是数学中一种常用的重要思想方法。 例1 如下图，侦察员骑马从A 地出发，去B 地取情报．在去B 地之前需要先饮一次马，如果途中没有重要障碍物，那么侦察员选择怎样的路线最节省时间，请你在图中标出来。 解：要选择最节省时间的路线就是要选择最短路线。 作点A 关于河岸的对称点 A′，即作 AA′垂直于河岸，与河岸交于点C，且使 AC=A′C，连接 A′B 交河岸于一点P，这时 P点就是饮马的最好位置，连接 PA，此时 PA＋PB 就是侦察员应选择的最短路线。 证明：设河岸上还有异于P点的另一点P′，连接 P′A，P′B， P′A′。 P′A+P′B＝P′A′+P′B＞A′B=PA′+PB=PA+PB，而这里不等式 P′A′＋P′B＞A′B 成立的理由是连接两点的折线段大于直线段，所以 PA+PB 是最短路线。 此例利用对称性把折线APB 化成了易求的另一条最短路线即直线段A′B，所以这种方法也叫做化直法，其他还有旋转法、翻折法等．看下面例题。 例2 如图一只壁虎要从一面墙壁α 上 A 点，爬到邻近的另一面墙壁β上的B 点捕蛾，它可以沿许多路径到达，但哪...
