考研数学之矩阵的特征值与特征向量

107 第五章 矩阵的特征值与特征向量 内容提要 一、基本概念 1. A 是一个 n 阶方阵,如果存在一个数  和一个 n 维非零列向量 ,使得 A成立,则称  为矩阵 A 的特征值，非零列向量 称为矩阵 A 的属于特征值  的特征向量. 2. A 为 n 阶方阵, 为未知量,则矩阵 nnnnnnaaaaaaaaaAE212222111211 称为矩阵 A 的特征矩阵;其行列式AEf )(为  的 n 次多项式,称为矩阵 A 的特征多项式;0 AE称为矩阵 A 的特征方程. 3. n 阶方阵 A 的主对角线上的元素的和称为 A 的迹,记作)( Atr,即)( Atr nnaaa2211. 4.对于 n 阶方阵 A 和 B ,若存在 n 阶可逆方阵 P ,使BAPP1成立,则称A 与 B 相似,记为BA ~.满足: (1)自身性 即AA ~; (2)对称性 若BA ~,则AB ~; (3)传递性 若BA ~,CB ~,则CA ~. 5.若矩阵 A 与对角阵相似,则称 A 可对角化. 6.实矩阵 A =nmija)(,如果0ija,),,2,1;,,2,1(njmi,称 A 为非负矩阵;如果ija >0,),,2,1;,,2,1(njmi,称 A 为正矩阵. 7.如果 n 阶方阵 A =nmija)(,可以经过一系列相同的行和列互换,化为 221211AOAA, 其中11A ,22A 为子方阵(不一定同阶),则称 A 为可分解矩阵,否则称 A 为不可分解的矩阵. 8.若n,,,21为 n 阶方阵 A 的特征值,则称 108 )( AP|}|,,||,|max{|21n 为A 的最大特征值(或为A 的谱半径). 二、几个结果 1.特征值和特征向量的基本性质 (1) n 阶矩阵A 与它的转置矩阵TA 有相同的特征值(但特征向量一般不同); (2)属于A 的不同特征值的特征向量必定线性无关(但属于相同特征值的特征向量不一定必相关); (3)属于同一特征值的特征向量的线性组合仍是属于该特征值的特征向量; (4)设n,,,21为n 阶方阵A 的特征值,则有 ①nnnaaa221121,即 A 的特征值的和等于矩阵A 的主对角线的元素的和; ②||21An . 推论 若矩阵A 可逆  矩阵A 的特征值全不为零. (5)若  为矩阵A 的特征值, 是A 的属于 的特征向量,则 ① k 是kA 的特征值( k 为任意常数); ②m 是mA 的特征值( m 为正整数); ③当 A 可逆时,1是1A的特征值,A 是*A 的特征值; ④)(0P是...