外接球、内切球专题

多面体外接球、内切球半径常见的几种求法公式法例 1一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9，底面周长为３，则这个球的体积为 .86x  3, x 解设正六棱柱的底面边长为x ，高为 h ，则有932x h, 6 4h 8∴正六棱柱的底面圆的半径r 1 ,23．13，球心到底面的距离d .∴外接球的半径22R r2  d 2 1.V 球  4.3小结本题是运用公式R2  r 2  d 2 求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.多面体几何性质法例 2已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是A.16 B.20 C.24 D.322解设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为 R ，则有4x  16 ，解得 x  2 .∴2R 22  22  42  2 6, R 6 .∴这个球的表面积是4 R2  24 .选 C.小结本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.补形法例 3若三棱锥的三个侧棱两两垂直，且侧棱长均为 3 ，则其外接球的表面积是 .解据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为3 的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.设其外接球的半径为 R ，则有2R 2      32 32 32  9.∴ R2  9.42故其外接球的表面积S  4 R  9 .小结一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a、b、c ，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为 R ，则有2R a2  b2  c2 .常见的、基本的几何体补成正方体或长方体的途径与方法．途径 1：正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥都分别可构造正方体．途径 2：同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体和正方体．途径 3：若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体．途径 4：若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体．寻求轴截面圆半径法A 、B C、D、都在例 4正四棱锥S  ABCD 的底面边长和各侧棱长都为2 ，点 S、同一球面上，则此球的体积为 .解设正四棱锥的底面中心为O1 ，外接球的球心为O ，如图 3所示.∴由球的截面的性质，可...