多面体外接球、内切球半径常见的几种求法公式法例 1一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面,已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为9,底面周长为3,则这个球的体积为 .86x 3, x 解设正六棱柱的底面边长为x ,高为 h ,则有932x h, 6 4h 8∴正六棱柱的底面圆的半径r 1 ,23.13,球心到底面的距离d .∴外接球的半径22R r2 d 2 1.V 球 4.3小结本题是运用公式R2 r 2 d 2 求球的半径的,该公式是求球的半径的常用公式.多面体几何性质法例 2已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4,体积为16,则这个球的表面积是A.16 B.20 C.24 D.322解设正四棱柱的底面边长为x ,外接球的半径为 R ,则有4x 16 ,解得 x 2 .∴2R 22 22 42 2 6, R 6 .∴这个球的表面积是4 R2 24 .选 C.小结本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.补形法例 3若三棱锥的三个侧棱两两垂直,且侧棱长均为 3 ,则其外接球的表面积是 .解据题意可知,该三棱锥的三条侧棱两两垂直,∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为3 的正方体,于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.设其外接球的半径为 R ,则有2R 2 32 32 32 9.∴ R2 9.42故其外接球的表面积S 4 R 9 .小结一般地,若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直,且其长度分别为a、b、c ,则就可以将这个三棱锥补成一个长方体,于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为 R ,则有2R a2 b2 c2 .常见的、基本的几何体补成正方体或长方体的途径与方法.途径 1:正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥都分别可构造正方体.途径 2:同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体和正方体.途径 3:若已知棱锥含有线面垂直关系,则可将棱锥补成长方体或正方体.途径 4:若三棱锥的三个侧面两两垂直,则可将三棱锥补成长方体或正方体.寻求轴截面圆半径法A 、B C、D、都在例 4正四棱锥S ABCD 的底面边长和各侧棱长都为2 ,点 S、同一球面上,则此球的体积为 .解设正四棱锥的底面中心为O1 ,外接球的球心为O ,如图 3所示.∴由球的截面的性质,可...