相似三角形题型归纳一、比例的性质:比例的性质示例剖析(1）基本性质：（2）反比性质:（3）更比性质:或或（4)合比性质:（5)分比性质:(6）合分比性质:（7)等比性质:已知,则当时，.二、成比例线段的概念：1．比例的项:在比例式(即)中，a，d称为比例外项,b,c称为比例内项.特别地，在比例式(即)中,b称为a,ｃ的比例中项，满足．2．成比例线段：四条线段a,b,c,d中，如果a和b的比等于c和ｄ的比，即，那么这四条线段a,ｂ，c，ｄ叫做成比例线段，简称比例线段．３.黄金分割:如图,若线段AＢ上一点Ｃ，把线段AB分成两条线段AC和BC（）,且使AC是AB和ＢC的比例中项（即）,则称线段AB被点C黄金分割，点Ｃ叫线段ＡB的黄金分割点，其中，,AC与AB的比叫做黄金比.(注意:对于线段AＢ而言,黄金分割点有两个．）三、平行线分线段成比例定理1.平行线分线段成比例定理两条直线被三条平行线所截,所得的对应线段成比例,简称为平行线分线段成比例定理．如图:如果，则，，．【小结】若将所截出的小线段位置靠上的（如ＡＢ)称为上，位置靠下的称为下,两条线段合成的线段称为全，则可以形象的表示为,,.2.平行线分线段成比例定理的推论平行于三角形一边的直线，截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.如图:如果EF//BC，则，，．平行线分线段成比例定理的推论的逆定理若或或，则有EＦ／/BＣ．【注意】对于一般形式的平行线分线段成比例的逆定理不成立,反例：任意四边形中一对对边的中点的连线与剩下两条边，这三条直线满足分线段成比例,但是它们并不平行．【小结】推论也简称“A”和“８”,逆定理的证明可以通过同一法,做交ＡC于点，再证明与F重合即可.四、相似三角形的定义、性质和判定1．相似图形①定义:对应角相等,对应边成比例的图形叫做相似图形.对应边的比例叫做相似比．相似图形是形状相同,大小不一定相同．相似图形间的互相变换称为相似变换.②性质:两个相似图形的对应角相等，对应边成比例．2．相似三角形的定义定义:对应角相等,对应边成比例的三角形叫做相似三角形.对应边的比例叫做相似比.全等三角形是特殊的相似三角形,全等三角形的相似比是1．如图，与相似，记作，符号读作“相似于”．注意：如果写成“”，则前后的字母一定对应;如果写成文字，则可以不对应．BA'AC'B'C３.相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等.如图,，则有．②相似三角形的对应边成比例．如图，,则有（为相似比）.③相似三角形的对应边上的中线,高线和对应角的平分线成比例,都等于相似比.如图，∽,和是中边上的中线、高线和角平分线,、和是中边上的中线、高线和角平分线,则有④相似三角形周长的比等于相似比．如图，∽,则有．⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方．如图，∽,则有4．相似三角形的判定判定定理判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.简称为两角对应相等,两个三角形相似．如图,如果，，则.判定定理2:如果两个三角形的三组对应边成比例,那么这两个三角形相似.简称为三边对应成比例，两个三角形相似．如图，如果,则．判定定理3：如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等,那么这两个三角形相似.简称为两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似.如图，如果,,则．五、“Ａ”字和“8”字模型基本模型图形重要结论“A”字型“8”字型六、与内接矩形的有关的相似问题如图，已知四边形DＥFG是的内接矩形,E、F在BＣ边上,D、Ｇ分别在AＢ、AＣ边上，则有：，.特别地，当时，有．NMGFEDCBA七、“A”字和“８”字模型的构造“A”字和“8”字模型的构造常常作平行线，常见的作平行线的方法:GFEDCBAGFEDCBAGFEDCBADEFCBA八、斜“8”模型如图为斜“８”字型基本图形．当时，则有.※．九、斜“A”模型如图为斜“Ａ”字型基本图形．当时,则有.※.如图所示，当E点与Ｃ点重合时，为其常见的一个变形．当时，则有．※．如图所示,当Ｅ点在AC的延长线上时，为另一个常见的变形．当时，则有．※．十、射影定理在中，,于D．射影定理：(1）;（2);(3）.注意：（1）射影定理可以直接用,是用来证明的.（2）射影图形中,另外有下面的关系．①角的相等关系：,.②同一...
