5.3Lindeloff空间VIP专享

德州学院数学系 点集拓扑教案 104 §5.3 Lindeloff空间 本节重点: Lindeloff空间的定义；Lindeloff空间与第一(二)可数性公理空间、可分空间的关系；Lindeloff空间的遗传性、关于连续映射的是否可保持性． 一 Lindeloff空间的概念 定义 5.3.1 设 A 是一个集族，B 是一个集合．如果AAA=B，则称集族A 是集合 B 的一个覆盖，并且当 A 是可数族或有限族时，分别称集族 A 是集合 B 的一个可数覆盖和有限覆盖． 设集族 A是集合 B的一个覆盖．如果集族 A的一个子族 A 1也是集合 B的覆盖，则称集族 A 1是覆盖 A （关于集合 B）的一个子覆盖． 设 X 是一个拓扑空间．如果由 X 中开（闭）子集构成的集族 A是 X 的子集B 的一个覆盖，则称集族 A是集合 B 的一个开（闭）覆盖． 在数学分析中读者所熟知的 Heine－Borel定理告诉我们：实数空间 R的子集 A是一个有界闭集当且仅当 A的每一个开覆盖都有有限子覆盖．因而具有“每一个开覆盖都有有限子覆盖”的拓扑空间自有其重要性．对于这类拓扑空间我们将要在第七章中称之为“紧致空间”并且用整章的篇幅加以讨论．但是另一方面，正如所知，连实数空间本身都不能包容在这类拓扑空间之中．这使我们有必要放松一点限制． 定义 5.3.2 设 X 是一个拓扑空间．如果 X的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖，则称拓扑空间 X 是一个 Lindeloff空间． 由定义可知，任何平庸空间是 Lindeloff空间；含可数多个点的离散空间是Lindeloff空间；包含着不可数多个点的离散空间不是一个Lindeloff空间．这是因为这个拓扑空间中的所有单点子集构成它的一个开覆盖，这个开覆盖没有任何可数子覆盖． 德州学院数学系 点集拓扑教案 105 例5.3.1， 包含着不可数多个点的可数补空间X是一个Lindeloff空间， 且X的每个子空间也是Lindeloff空间． (例5.1.1中已经指出它不满足第一可数性公理，所以它也不满足第二可数性公理．) 证明 设A 是X的任意一个开覆盖．任意在A 中取定一个非空集合A．对于每一个x∈A′，在A 中选取一个A x 使得 x∈A x，由于A′是可数集，所以A 的子族{ A x∈A | x∈A x，x∈A′}∪{A}也是可数的，易见它也覆盖X．所以包含着不可数多个点的可数补空间X是Lindeloff空间. 设Y  X，下面证Y 也是Lindefoff空间． 设A 1 是Y 的任意一个开覆盖，则存在X 的开集族 A 使 A 1 = A |Y ．任取一个A∈A ，则 A∪Y′是X 的...