对函数对称性、周期性和奇偶性关岭民中数学组(一)、同一函数的函数的奇偶性与对称性：〔奇偶性是一种特殊的对称性〕1、奇偶性：〔1〕奇函数关于〔0,0〕对称，奇函数有关系式 f(x)+f(-x)=0⑵ 偶函数关于 y〔即 x=0〕轴对称，偶函数有关系式 f(-x)=f(x)2、奇偶性的拓展：同一函数的对称性1〕函数的轴对称：函数 y=f(x)关于 x=a 对称 Of(a+x)=f(a 一 x)f(a+x)=f(a 一 x)也可以写成 f(x)=f(2a 一 x)或 f(-x)=f(2a+x)假设写成：f(a+x)=f(b-x)，那么函数 y=f(x)关于直线(a+x)+(b-x)a+bx==22证明：设点(x】』］)在 y=f(x)上，通过 f(x)=f(2a-x)可知，y=f(x)=f(2a-x)，即点(2a-x,y)也在 y=f(x)上,而点11111(x,y)与点(2a-x,y)关于 x=a 对称。得证。1111说明：关于 x=a 对称要求横坐标之和为 2a，纵坐标相等。*.*(a+x,y)与(a-x,y)关于 x=a 对称，函数 y=f(x)关于 x=a 对称1111Of(a+x)=f(a-x)T(x,y)与(2。-x,y)关于 x=a 对称，函数 y=f(x)关于 x=a 对称1111Of(x)=f(2a-x)T(-x,y)与(2a+x,y)关于 x=a 对称，函数 y=f(x)关于 x=a 对称1111Of(-x)=f(2a+x)〔2〕函数的点对称：函数 y=f(x)关于点(a,b)对称 Of(a+x)+f(a-x)=2b上述关系也可以写成 f(2a+x)+f(-x)=2b 或 f(2a-x)+f(x)=2b假设写成：f(a+x)+f(b-x)=c，函数 y=f(x)关于点(a+b，-)对称22证明：设点 (X]』])在 y=f(x)上，即歹]=f(X]),通过 f(2a-x)+f(x)=2b 可知，f(2a-x)+f(x)=2b,所以 f(2a-x)=2b-f(x)=2b-y,所以点11111(2a-xi,2b-人)也在 y=f(x)上，而点(2a-xi,2b-人)与(xi,人)关于(a，b)对称得证。说明：关于点(a,b)对称要求横坐标之和为 2a,纵坐标之和为 2b,如(a+x)与(a-x)之和为 2a。〔3〕函数 y=f(x)关于点 y=b 对称:假设函数关于 y=b 对称，即关于任一个 x 值，都有两个 y 值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于 y=b对称。但在曲线 c(x,y)=O，那么有可能会出现关于 y=b 对称，比方圆 c(x,y)=x2+y2一 4=0 它会关于 y=0 对称。〔4〕复合函数的奇偶性的性质定理：性质 1、复数函数 y=f[g(x)]为偶函数，那么 f[g(—x)]=f[g(x)]。复合函数 y=f[g(x)为奇函数，那么 f[g—x)]=—f[g(x)]。性质 2、复合函数 y=f(x+a)为偶函数，那么 f(x+a)=f(—x+a)；复合函数 y=f(x+a)为奇函数，那么 f(—x+a)=—f(a+x)。性质 3、复合函数 y=f(x+a)为偶函数，那么 y=f(x)关于直线 x=a 轴对称。复合函数 y=f(x+...
