《最优化方法》复习题

附录5 《最优化方法》复习题 1、设n nAR 是对称矩阵，,nbRcR，求1( )2TTf xx Axb xc 在任意点 x 处的梯度和 Hesse 矩阵． 解 2( ),( )f xAxbf xA． 2、设 ( )()tf xtd，其中:nfRR二阶可导，,,nnxRdRtR，试求( )t． 解 2( )(),( )()TTtf xtddtdf xtd d ． 3、设方向ndR是函数( )f x 在点 x 处的下降方向，令 ( )( )( )( )( )TTTTddf xf xHIdf xf xf x， 其中 I 为单位矩阵，证明方向( )pHf x 也是函数( )f x 在点 x 处的下降方向． 证明 由于方向 d 是函数( )f x 在点 x 处的下降方向，因此( )0Tf xd，从而 ( )( )( )TTf xpf xHf x  ( )( )( ) ()( )( )( )( )TTTTTddf xf xf xIf xdf xf xf x  ( )( )( )0TTf xf xf xd  ， 所以，方向 p 是函数( )f x 在点 x 处的下降方向． 4、nSR是凸集的充分必要条件是12122,,,,,,,,mmmxxxS xxx的一切凸组合都属于S ． 证明 充分性显然．下证必要性．设 S 是凸集，对 m 用归纳法证明．当2m 时，由凸集的定义知结论成立，下面考虑1mk 时的情形．令11kiiixx ， 其中,0,1, 2,,1iixSik ，且111kii．不妨设11k  （不然1kxxS，结论成立），记111kiiikyx，有111(1)kkkxyx， 又1110,1, 2,,,111kiiikkik， 则由归纳假设知，yS，而1kxS ，且S 是凸集，故xS． 5、设nRS 为非空开凸集，RSf:在 S 上可微，证明： f 为 S 上的凸函数的充要条件是2112112()()() (),,Tf xf xf xxxx xS ． 证明 必要性．设f 是S 上的凸函数，则12,x xS及(0,1) ，有 2121((1))()(1) ()fxxf xf x， 于是 121121(())()()()f xxxf xf xf x， 因 S 为开集，f 在 S 上可微，故令0，得 12121() ()()()Tf xxxf xf x，即2112112()()() (),,Tf xf xf xxxx xS ． 充分性．若有2112112()()() (),,Tf xf xf xxxx xS ， 则[0,1] ，取12(1)xxxS，从而 11()(...