第 1 页 ~ 共 7 页 §2.2 拓扑空间与连续映射 本节重点: 拓扑与拓扑空间的概念,并在此空间上建立起来的连续映射的概念. 注意区别: 拓扑空间的开集与度量空间开集的异同；连续映射概念的异同. 现在我们遵循前一节末尾提到的思路，即从开集及其基本性质（定理2.1.2）出发来建立拓扑空间的概念． 定义2.2.1 设X是一个集合，T是X的一个子集族．如果T满足如下条件： （l）X，∈T ； （2）若 A，B∈T ，则 A∩B∈T ； （3）若则称 T是X的一个拓扑． 如果T是集合X的一个拓扑，则称偶对（X，T）是一个拓扑空间，或称集合X是一个相对于拓扑T而言的拓扑空间；此外 T的每一个元素都叫做拓扑空间（X，T）或 X中的一个开集．即：A∈T A 是开集 （此定义与度量空间的开集的性质一样吗） 经过简单的归纳立即可见，以上定义中的条件（2）蕴涵着：有限多个开集的交仍是开集，条件（3）蕴涵着：任意多个开集的并仍是开集． 现在首先将度量空间纳入拓扑空间的范畴． 第 2 页 ~ 共 7 页 定义2.2.2 设（X，ρ ）是一个度量空间·令为由 X中的所有开集构成的集族．根据定理 2.1.2，（X，）是X的一个拓扑．我们称为 X的由度量ρ诱导出来的拓扑．此外我们约定：如果没有另外的说明，我们提到度量空间（X，ρ ）的拓扑时，指的就是拓扑；在称度量空间（X，ρ ）为拓扑空间时，指的就是拓扑空间（X，） 因此，实数空间R，n维欧氏空间（特别，欧氏平面），Hilbert空间H都可以叫做拓扑空间，它们各自的拓扑便是由例 2.1.1，例 2.1.2和例 2.1.3中定义的各自的度量所诱导出来的拓扑． 例 2.2.1 平庸空间． 设X是一个集合．令 T ={X，}．容易验证，T 是X的一个拓扑，称之为 X的平庸拓扑；并且我们称拓扑空间（X，T）为一个平庸空间．在平庸空间（X，T）中，有且仅有两个开集，即 X本身和空集． 例 2.2.2 离散空间． 设X是一个集合．令 T =P（X），即由 X的所有子集构成的族．容易验证，T是X的一个拓扑，称之为 X的离散拓扑；可知，在离散空间（X，T）中，X的每一个子集都是开集． 例 2.2.3 设X＝{a，b，c}．令 T ={，{a}，{a，b}，{a，b，c}}． 容易验证，T是X的一个拓扑，因此（X，T）是一个拓扑空间．这个拓扑空间既不是平庸空间又不是离散空间． 例 2.2.4 有限补空间． 第 3 页 ~ 共 7 页 设X 是一个集合．首先我们重申：当我们考虑的问题中的基础集自明时，我们并不每次提起．因此在后...
