一元二次方程整数根问题的十二种思维策略 一. 利用判别式 例1.（2000 年黑龙江中考题）当m 是什么整数时，关于x的一元二次方程2440mxx 与2244450xmxmm的根都是整数。 解： 方程2440mxx有整数根， ∴⊿=16-16m≥0，得 m≤1 又 方程2244450xmxmm有整数根 ∴22164(445)0mmm 得54m 综上所述，－ 45≤m≤1 ∴x 可取的整数值是-1，0，1 当m=-1 时，方程为－x 2 -4x+4=0 没有整数解，舍去。 而 m≠0 ∴ m=1 例2．（1996 年四川竞赛题）已知方程210xmx m 有两个不相等的正整数根，求 m的值。 解：设原方程的两个正整数根为 x1，x2 ，则 m=－(x1+x2 )为负整数. ∴244mm一定是完全平方数 设2244mmk（k 为正整数） ∴22(2)8mk 即：(2)(2)8mk mk m+2+k≥m+2-k,且奇偶性相同 ∴2422mkmk或2224mkmk 解得 m=1＞0（舍去）或 m=－5。 当m=－5 时 ，原方程为 x 2 -5x+6=0，两根分别为 x1=2，x2 =3。 二. 利用求根公式 例3．（2000 年全国联赛）设关于x 的二次方程2222(68)(264)4kkxkkxk 的两根都是整数，求满足条件的所有实数k 的值。 解： 22222(264)4(4)(68)4(6)kkkkkk 由求根公式得222642(6)2(68)kkkxkk 即 12241,142xxkk 由于x≠-1，则有12244,211kkxx 两式相减，得1224211xx 即 12(3)2x x 由于x1，x2 是整数，故可求得122,4xx 或122,2xx 或121,5xx 分别代入，易得k= 310，6，3。 三. 利用方程根的定义 例4.b 为何值时，方程 220xbx和22(1)0xxb b有相同的整数根？ 并且求出它们的整数根？ 解：两式相减，整理得(2-b)x=(2-b)(1+b) 当b≠2 时,x=1+b,代入第一个方程,得2(1)(1)20bbb 解得b=1,x=2 当b=2 时,两方程无整数根. ∴b=1,相同的整数根是2 四.利用因式分解 例5.（2000 年全国竞赛题）已知关于x 的方程2(1)210axxa 的根都是整数， 那么符合条件的整数a 有___________个. 解: 当a=1 时,x=1 当a≠1 时,原方程左边因式分解,得 (x-1)[(a-1)x+(a+1)]=0 即得1221,1 1xxa x 是整数 ∴ 1-a=±1,±2, ...
