无穷级数总结

无穷级数总结一、概念与性质1. 定义：对数列u1,u2,,un， un 称为无穷级数, un 称为一般项;若部分和n1数列{Sn}有极限 S ,即lim Sn  S ,称级数收敛,否则称为发散。n2. 性质①设常数 c  0，则 un 与cun 有相同的敛散性；n1n1②设有两个级数 un 与 vn ，若 un  s， vn   ,则(un  vn )  s   ;n1n1n1n1n1若 un 收敛, vn 发散,则 (un  vn ) 发散;n1n1n1若 un ， vn 均发散，则 (un  vn ) 敛散性不确定；n1n1n1③添加或去掉有限项不影响一个级数的敛散性；④设级数 un 收敛,则对其各项任意加括号后所得新级数仍收敛于原级数的和．n1注：①一个级数加括号后所得新级数发散，则原级数发散；②一个级数加括号后收敛,原级数敛散性不确定．⑤级数 un 收敛的必要条件: lim un  0；n1n注：①级数收敛的必要条件,常用判别级数发散;②若 lim un  0，则 un 未必收敛；nn1③若 un 发散，则 lim un  0未必成立．n1n二、常数项级数审敛法1. 正项级数及其审敛法① 定义：若un  0 ，则 un 称为正项级数。n1② 审敛法：（i）充要条件：正项级数 un 收敛的充分必要条件是其部分和数列有界。n1（ii）比较审敛法：设 un ①与vn ②都是正项级数,且un  vn(n 1,2,),n1n1则若②收敛则①收敛；若①发散则②发散。A. 若②收敛，且存在自然数 N ，使得当 n  N 时有un  kvn(k  0)成立，则①收敛；若②发散，且存在自然数 N ，使得当 n  N 时有un  kvn(k  0)成立，则①发散；1B. 设  un 为正项级数，若有p 1 使得 un p (n 1,2,) ，则  un 收敛 ;若nn1n11un (n 1,2,) ，则 un 发散.nn1C. 极限形式：设 un ①与vn ②都是正项级数，若 limn1n1un  l(0  l  ) ，则n vn un1n 与vn 有相同的敛散性。n1注:常用的比较级数：①几何级数：  ar n1n1 a 1 r发散r 1r 1;② p  级数：n11 收敛n p 发散1np 1时p 1时；③ 调和级数:1 n111   发散．2n（iii)比值判别法(达...