三个重要不等式

三个重要不等式 目的：掌握三个重要不等式及其应用 重点、难点：综合应用三个重要不等式解决竞赛数学中的不等式问题 1、排序不等式[2] 设有两组数1212, ,,;,,,nnaaabbbLL，满1212 ,nnaaa bbbLL， 则有 1 122nna ba ba bL （顺序和） 1212niinia ba ba bL （乱序和） 1211nnna ba ba bL （逆序和） 其中12, ,,ni iiL是1,2,,nL的一个排列，当且仅当12= naaaL或12nbbbL时等号成立. 证明 先证左端 设乱序和为 S ,要S 最大, 我们证明必须na 配nb ,1na 配1nb ,L ,1a 配1b , 设na 配nib nin,nb 配某个kakn, 则有 nnninkkinna bb aa ba b 这是因为  0nnnnnkiknninknia ba ba ba baabb 同理可证1na 必配1nb ，2na 必配2nb ，L ，1a 必配1b ， 所以 12121 122niininna ba ba ba ba ba bLL 再证右端 又1211 ,nnnaaabbb  LL， 由以上证明结论(乱 同) 可得， 12121112nnnniiniababababababLL 于是有12121112nnnniinia ba ba ba ba ba bLL 当且仅当12= naaaL或 12nbbbL时，等号成立. 证毕. 2．均值不等式 设12,na aaL是正实数，则 nnnaaanaaa............2121naaan1......1121 即nnnHGA,等号当且仅当naaa......21时成立. 证明： ),......,2,1(niRai 设)1(lo g)(axfxa，则)(xf为),0(  内的上凸函数 由琴生不等式，得： naaaaaannnnnaaaaaaaaaann............lo g)lo g......lo g(lo g12121......2121即 所以nnGA  对于naaa1,......,1,121这n 个正数，应用nnGA ， 得0......11......112121nnnaaanaaa 所以nnnaaanaaa1......11......2121 所以nnHG 成立 ,故nnnHGA 证毕. 此外，均值不等式还可用排序不等式、数学归纳法等其它方法证明， 3、柯西不等式 设,(1,2.... )iia bR in则 222111()()()nnniiiiiiia bab 当且仅当 (1,2.... )iibka in时等号成立 证法一（数学归纳法） (1)当(1,2... )(1,2.... )iia inb in或全为零时，命题显然成立. (2)当数组1212,,...;,.....