偏微分方程数值解(双曲方程书稿)

双曲型方程的有限差分法 线性双曲型方程定解问题： （a）一阶线性双曲型方程  0xuxatu （b）一阶常系数线性双曲型方程组 0xtuAu 其中A ，s 阶常数方程方阵，u为未知向量函数。 （c）二阶线性双曲型方程（波动方程）  022xuxaxtu  xa为非负函数 （d）二维，三维空间变量的波动方程 0222222yuxutu 022222222zuyuxutu §1 波动方程的差分逼近 1.1 波动方程及其特征 线性双曲型偏微方程的最简单模型是一维波动方程： （1.1） 22222xuatu 其中0a是常数。 （1.1）可表示为：022222xuatu，进一步有 0uxatxat 由于xat当adtdx时为txu,的全导数（dtdudtdxxutuxuatu）,故由此定出两个方向 （1 .3 ） adxdt1 解常微分方程（1 .3 ）得到两族直线 （1 ．4 ） 1Ctax 和 2Ctax 称其为特征。 特征在研究波动方程的各种定解问题时，起着非常重要的作用。 比如，我们可通过特征给出（1 .1 ）的通解。（行波法、特征线法） 将（1 .4 ）视为),(tx与),(21 CC之间的变量替换。由复合函数的微分法则 212211CuCuxCCuxCCuxu xCCuCuCxCCuCuCxu2212121122 222122212212CuCCuCCuCu 2222122122CuCCuCu 同理可得 attatC1，atC 2 212211CuCuatCCutCCutu tCCuCuaCutCCuCuaCtu2122112122 21222222221222CCuCuaCuCCua 22221221222CuCCuCua 将22xu和22tu代入（1 .1 ）可得： 22221221222CuCCuCua22221221222CuCCuCua 即有 0212CCu 求其对2C 的积分得：  11CfC...