第四节空间曲线及其方程一空间曲线的一般方程曲面 F x, y, z 。和 G x, y, z 0 的交线 C 可表示为F x, y, z0,G x, y, z0.它称为空间曲线 C 的一般方程.X2 V2 1,例 1 方程组表示何曲线?2x 3z 6解 X2 y2 1表示母线平行于 z轴的圆柱面，其准线是 xy面上的圆X2 y2 1。 2x 3z 6 表示一个母线平行于 y 的柱面，其准线是 xz 面上的Y2 y 21直线 2x 3z 6 ,因而 2x 3z 6 在空间表示一个平面。'是上2x 3z 6述圆柱面和平面的交线.z山 2X2 y2,例 2方程组.2A 2表示何曲线?(XX —y2 —22解x x t ,『y y t ,z z t叫做空间曲线的参数方程，t 称为参数.例 3 若空间一点 M 在圆柱面 x2y2a2上以角速度 绕 z 轴旋转，同时又以线速度 v沿着平行于 z 轴的正方向上升（和 v 均为常数），则点 M 的轨迹叫做螺旋线。试建立其参数方程。t, M 由 A 运动到 M x, y, z .记 M 在 xy 面上的投影为 M设 t 为时间.当 t 0 时，设 M 位于 x 轴上的 A a, 0,处.经过时间x, y, 0,则二空间曲线的参数方程x IOM cos AOM a cos t,•5.,y |OM |sin AOM a sin t,z M Mvt.于是，螺旋线的参数方程为x a cos t,y a sin t,z vt注若设 t ,则该方程变为x a cos ,y a sin ,z b .v 这里，b 一为常数，而 是参数.这说明曲线的参数方程不唯一，参数的选择也不唯一。曲面的参数方程（删）三 空间曲线在坐标面上的投影以空间曲线 C 为准线且母线垂直于平面 的柱面 S 称为曲线 C 关于平面的投影柱面。S和 的交线C称为C在 上的投影曲线或投影.设有空间曲线。F x, y, z0,C :G x, y, z0.由此消去 z,得 C 关于 xy 面的投影柱面S: P x, y 0于是，C 在 xy 面上的投影曲线为P x, y 0,z 0.F x y z Q同理，若由 c： '' '消去 x,则得 c 关于 yz 面的投影柱面G x, y, z 0T : Q y, z 0和 C 在 yz 面上的投影F x y z 0若由 c： '' '消去 y,则得 c 关于 xz 面的投影柱面G x, y, z 0U : R x, z 0和 C 在 xz 面上的投影R x, z 0,C :y o.Q y, zx 0.0,例 4 求曲线 C ：X2 y2 Z2 1,在 xy 面上的投影曲线。X2 y 1 2 z 1 2 1解用第一式减去第二式，得于是，z 1 y。代入 X2 y2 Z2 1,得从而所求的投影方程为注 2 y Z 1 是曲线 C 向 yz 面的投影柱...
