简单微分方程的求解

一、一阶微分方程1、 线性齐次方程 ① 分离变量法求解 ② 两边同时乘以,积分因子法 通解:2、 线性非齐次方程 ① 常数变易法② 两边同时乘以,积分因子法 通解:线性微分方程得解有一些很好得性质,例如(1)齐次方程得解或者恒等于零,或者恒不等于零(2)齐次方程任何解得线性组合仍就是它得解(3)齐次方程得任一解与非齐次方程任一解之与仍就是非齐次方程得解(4)非齐次方程任意两解之差必就是对应齐次方程得解(5)非齐次方程得任一解与对应齐次方程得通解之与就是非齐次方程得通解。3、 Bernoulli 方程(1)时,该方程为线性非齐次方程(2)时,该方程为线性齐次方程(3)时,作变量替换,该方程转化为,这就是关于未知函数 z 得一阶线性方程4、 Riccati 方程Riccati 方程在一般情况下无法用初等积分求出解,只就是对一些特别情况或者事先知道了它得一个特解,才能求出其通解。(1)当、、都就是常数时,就是可分离变量方程,用分离变量法求解。(2)当时,就是线性方程。(3)当时,就是 Bernoulli 方程。当,设已有一特解命,代得这就是一个关于 z 得 Bernoulli 方程。(4)当 Riccati 方程得形式为,可利用变量替换,将方程化为可分离变量方程当 Riccati 方程得一个特解已知时,我们利用变换,代入方程后可得:由于就是方程得解,从上式消去相关得项后得:,这就是一个 Bernoulli 方程。(5)当 Riccati 方程得形式为,其中、、都就是常数,且设,又设与,则当时,方程可通过适当得变换化为变量可分离方程。5、 可分离变量方程,通解为6、 齐次方程作变量替换,则,即通解为。7、 全微分方程与积分因子设就是一个连续可微得二元函数,则它得全微分为:若有函数使得:则称为全微分方程,此时,微分方程得解就就是微分方程得成立条件:设函数与在一个矩形区域 R 中连续且有连续得一阶偏导数,则就是全微分方程得充要条件就是微分方程得解为(线积分法)此时还可应用偏积分法与凑微分法如:重新分组整理为假如有函数,使得方程就是全微分方程(恰当方程),则称为方程得一个积分因子积分因子一般很难求解,但有如下情况可求:(1)微分方程有一个依赖于得积分因子得充要条件就是仅于有关,则积分因子可求:(2)微分方程有一个依赖于得积分因子得充要条件就是仅于有关,则积分因子可求:积分因子就是求解微分方程得一个极为重要得办法,绝大多数方程得求解都可以通过寻找到一个合适得积分因子来解决。但求一个微分方程得积分因子十分困难,需要灵活运用各种微分法得技巧与经验。例如,当一个微...