2024年一元二次方程归纳总结VIP专享VIP免费

一元二次方程归纳总结1、一元二次方程的一般式：,为二次项系数,为一次项系数，为常数项。2、一元二次方程的解法（１）直接开平方法（也可以使用因式分解法）①解为：②解为：③解为：④解为：（２)因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差,十字相乘法（3）公式法:一元二次方程，用配方法将其变形为:①当时,右端是正数.因此,方程有两个不相等的实根:②当时,右端是零.因此，方程有两个相等的实根：③当时，右端是负数．因此,方程没有实根。注意:虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解,但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。备注：公式法解方程的步骤：①把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式:,并确定出、、②求出，并判断方程解的情况。③代公式：(要注意符号)3、一元二次方程的根与系数的关系ﻩ法1：一元二次方程的两个根为:所以：,ﻩﻩ定理：如果一元二次方程定的两个根为，那么:法2：如果一元二次方程定的两个根为;那么两边同时除于，展开后可得:;法３：如果一元二次方程定的两个根为;那么①②得:（余下略)常用变形：，，,，，等练习：【练习1】若是方程的两个根,试求下列各式的值:(ﻩ1);）２);(3);(4（.【练习2】已知关于的方程，根据下列条件,分别求出的值.(1)方程两实根的积为5;(2)方程的两实根满足．【练习3】已知是一元二次方程的两个实数根.(1)是否存在实数，使成立?若存在,求出的值；若不存在，请您说明理由．(ﻩ2)求使的值为整数的实数的整数值.４、应用题（1）平均增长率的问题:其中:为基数,为增长率,表示连续增长的次数,①②表示增长后的数量。(２）面积问题：注意平移思想的使用5、换元法例:解:令则原方程可化为:解得:①当时,求得:②当时,求得：(原方程共有4个解)练习:一元二次方程的解法⑴方法:①直接开方法;②因式分解法;③配方法；④公式法⑵关键点：降次类型一、直接开方法:※※对于，等形式均适用直接开方法典型例题：例1、解方程：＝0;例2、解关于x的方程:例３、若,则ｘ的值为。针对练习：下列方程无解的是（）A．B.C.Ｄ．类型二、因式分解法:※方程特点:左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”,※方程形式：如,,典型例题:例1、的根为（）ﻩABCD例2、若，则4x＋y的值为。例3、方程的解为()A.Ｂ．C．D.例４、解方程:例５、已知,则的值为。类型三、配方法※在解方程中，多不用配方法;但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。典型例题:例1、试用配方法说明的值恒大于0。例2、已知x、ｙ为实数，求代数式的最小值。例3、已知为实数，求的值。例4、分解因式:类型四、公式法⑴条件：⑵公式:,典型例题：例1、选择适当方法解下列方程:⑴⑵⑶⑷⑸说明:解一元二次方程时,首选方法是因式分解法和直接开方法、其次选用求根公式法；一般不选择配方法。说明:①对于二次三项式的因式分解，如果在有理数范围内不能分解,一般情况要用求根公式，这种方法首先令＝0，求出两根,再写成＝.②分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去.类型五、“降次思想”的应用⑴求代数式的值；⑵解二元二次方程组。典型例题:例1、已知,求代数式的值。例2、如果，那么代数式的值。例3、已知是一元二次方程的一根,求的值。例4、用两种不同的方法解方程组考点四、根的判别式根的判别式的作用：①定根的个数；②求待定系数的值；③应用于其它。典型例题:例1、若关于的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是。例2、关于x的方程有实数根,则m的取值范围是()A．Ｂ.C．D.例３、已知关于x的方程(1)求证:无论k取何值时，方程总有实数根；(2）若等腰AＢＣ的一边长为１，另两边长恰好是方程的两个根，求ABC的周长。例4、已知二次三项式是一个完全平方式，试求的值．例５、为何值时,方程组有两个不同的实数解?有两个相同的实数解？考点五、应用解答题⑴“碰面”问题;⑵“复利率”问题;⑶“几何”问题;⑷“最值”型问题;⑸“图表”类问题典型例题:1、五羊足球队的庆祝晚宴，出席者两两碰杯一次，共碰杯990次，问晚宴共有多少人出席?2、北京申奥成功，促进了一批产业的迅速发展，某通讯公司开发了一种新型通讯产品投放市场，根据计划，第一年投入资金...