§9．6 双曲线 1．双曲线的概念 平面内动点P 与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为常数2a (2a<2c)，则点P 的轨迹叫____________．这两个定点叫双曲线的________，两焦点间的距离叫________． 集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c 为常数且a>0，c>0： (1)当________时，P 点的轨迹是双曲线； (2)当a＝c 时，P 点的轨迹是____________； (3)当________时，P 点不存在． 2．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 x2a2－y2b2＝1 (a>0，b>0) y2a2－x2b2＝1 (a>0，b>0) 图形 性 质 范围 x≥a 或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a 或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±bax y＝±abx 离心率 e＝ca，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2 实虚轴 线段 A1A2 叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a 叫做双曲线的半实轴长，b 叫做双曲线的半虚轴长 a、b、c 的关系 c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0) [难点正本 疑点清源] 1．双曲线中 a，b，c 的关系 双 曲 线 中 有 一 个 重 要 的 Rt△OAB(如 右 图 )， 它 的 三 边 长 分 别 是 a、b、c．易见 c2＝a2＋b2， 若 记 ∠AOB＝ θ， 则 e＝ ca＝1cos θ． 2． 双 曲 线 的 定 义 用 代 数 式 表 示 为 ||MF1|－ |MF2||＝ 2a， 其 中 2a<|F1F2|， 这 里 要 注 意 两 点 ： (1)距 离 之 差 的 绝 对 值 ． (2)2a<|F1F2|． 这 两 点 与 椭 圆 的 定 义 有 本 质 的 不 同 ： ①当 |MF1|－ |MF2|＝ 2a 时 ， 曲 线 仅 表 示 焦 点 F2 所 对 应 的 一 支 ； ②当 |MF1|－ |MF2|＝ － 2a 时 ， 曲 线 仅 表 示 焦 点 F1 所 对 应 的 一 支 ； ③当 2a＝ |F1F2|时 ， 轨 迹 是 一 直 线 上 以 F1、F2 为 端点 向外的 两 条射线 ； ④当 2a>|F1F2|时 ， 动点 轨 迹 不 存在． 3． 渐近线与离心率 x2a2－ y2b2＝ 1 (a>0， b>0)的 一 条渐近线 的 斜率为 ba＝b2a2＝c2－ a2a2＝e2－ 1． 可以看出， 双 曲 线 的 渐近线 和离 心率的 实质 都表 示 双 曲 线 张口的 大小． 1．已知点F1(－4,0)和F2(4,0)，一曲线上的动点P 到F1，F2...
