“复合函数”小议 专题练习VIP免费

“复合函数”小议复合函数的概念，教材上并没有明确提出，但在各类习题中却时有复合函数的影子，这类题学生也较易出错，下面举例说明：例1.若函数y＝f(x)的定义域为[a,b]，且－b＜a＜0，则函数y＝f(x＋a)的定义域为()A.[2a,a＋b]B.[a,b]C.[0,b]D.[0,b－a]对于此题，学生多数误认为：既然函数y＝f(x)的定义域为[a,b]，即x∈[a,b]，那么就应有x＋a∈[2a,a＋b]，从而选A。实际上这是学生对于复合函数的概念不理解所致，整体看，函数y＝f(x＋a)是由外函数y＝f(u)与内函数u＝g(x)复合而成，最终是由x到y的一个函数，故自变量只能为x，而u仅是一个中间的过渡元。由定义域是使函数有意义的所有自变量的集合可知自变量x应使f(x＋a)有意义，所以对任意的x都应有x＋a∈[a,b]。进而可得x∈[0,b－a]，答案应为D。类似的题目还有:例2.若函数f(x＋1)的定义域为[2,3],则函数f(x)的定义域为()A.[3,4]B.[1,2]C.[2,3]D.R由上面的分析可知：只要x∈[2,3]，函数f(x＋1)就有意义，也就是说只要x在区间[3,4]上取值，函数f(x)就有意义，同时，也只有x∈[2,3]，函数f(x＋1)才有意义，这就是说只有x在区间[3,4]上取值，f(x)才有意义，从而选A。但在资料上有一些题目，却有些不足之处，下面举例说明。例3、已知函数f(＋1)＝x＋2，求f(x)。解：设t＝＋1，则x＝(t－1)2(t≥1)，所以f(t)＝f(＋1)＝x＋2＝(t－1)2＋2＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1∴f(x)＝x2－1(x≥1)首先，由复合函数成立的条件，内函数的值域应为外函数的定义域的子集，但并不是说外函数的定义域就等于内函数的值域，所以满足此题的函数有无数多个，如函数f(x)＝x2－1(x∈D)其中D满足[1，＋∞）D都满足例3。有的资料注意到这个问题，就将题目改为：例4、已知函数f(＋1)＝x＋2，求f(x)的解析式。这样不涉及函数的定义域问题，似乎就比较严谨了，但满足此题的函数仍有无数多个，如函数：改变x＜1时的函数关系式就可得到无数多个满足条件的函数，实质上，由f(＋1)＝x＋2仅能得出当x≥1时一定有f(x)＝x2－1，当x＜1时，函数有没有意义，解析式是什么则根本就无法确定。因此，这样的题只能误导学生，对学生正确地理解函数的概念非常不利。这种求外函数的解析式的题型应慎重选择，如：例5.若定义在R上的函数f(x)满足f(log2x)＝x＋，a是常数，试求函数f(x)。分析：此题中给出了函数的定义域为R，设t＝log2x，t的范围也是R，因此所求出的函数关系式是对于任意一个实数都成立的，从而所求结果唯一存在。由此例，我们就可在例3、例4的题目中通过增加条件来限定函数f(x)的定义域，就可以唯一地确定答案了。