精品文档---下载后可任意编辑例 1 在二项式(√ x+ 124√ x)n的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项．分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决．解：二项式的展开式的通项公式为：T r+1=Cnr (√x )n−r(124√x)r=Cnr 12r x2 n−3 r4前三项的r=0,1,2.得系数为：t1=1,t2=Cn1 12=12 n,t3=Cn2 14=18 n(n−1)，由已知：2t2=t1+t3 n=1+ 18 n(n−1)，∴n=8通项公式为T r+1=C8r 12r x16−3r4r=0,1,2⋯8,T r+1为有理项，故16−3r 是 4 的倍数，∴r=0,4,8.依次得到有理项为T 1=x4 ,T5=C84 124 x=358 x,T 9=C88 128 x−2= 1256 x2．说明：本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了 r 的取值，得到了有理项．类似地，(√2+3√3)100的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中 r 的取值，得到共有 17 项．例 2 求(√ x− 123√x)10的展开式中，系数绝对值最大的项以及系数最大的项．分析：本题仍然属于抓通项公式解决特定项的问题，但是系数的绝对值的最大值或系数的最大值，需要对所有项的系数的变化规律进行讨论．由于系数的绝对值都是正数，我们可以用作商来讨论系数绝对值的变化情况，另外各项系数正负交替，又便于用系数绝对值的大小变化抓系数的最大值．解：展开式的通项公式为：T r+1=C10r (−1)r⋅2−r⋅x30−5r6系数的绝对值为C10r ⋅2−r，记为．用前后两项系数的绝对值作商得：|tr+2||tr+1|=C10r+1⋅2−(r+1)C10r ⋅2−r= C10r +12C10r =10!(r+1)!⋅( 9−r )! ×r !(10−r )!2⋅10!=10−r2(r+1) .令10−r2(r+1)≥1得：r≤83 即r=0、1、2 时，上述不等式成立．所以，系数的绝对值从第 1 项到第 4 项增加，以后逐项减小．系数绝对值最大的项为第 4 项，T 4=C104 (−1)32−3 x52=−15 x52．从系数绝对值的变化情况及系数的正负交替，只要比较第 3 项与第 5 项的系数，t3=C102 ⋅2−2=454 ,t5=C104 ⋅2−4=21016 =1058 .所以，系数最大的项为第 5 项，t 5=1058 x53．例 3 已知(1−2 x)7=a0+a1 x+a2 x2+⋯+a7 x7，求：（1）a1+a2+a3+⋯+a7 ；（2）a1+a3+a5+a7；（3）a0+a2+a4+a6 ．分析：本题是有关展开式系数和的问题，通过对等式中字母的赋值，往往会得到此类问题的结果．字母常常取的值有 0、1、－1 等．解：（1）取x=0 可得a0=1，取x=1得a0+a1+⋯+a7=(−1)7=−1．∴a1+a2+a...
