二项式定理典型例题

精品文档---下载后可任意编辑典型例题一例 1 在二项式(√ x+ 124√ x)n的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项．分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决．解：二项式的展开式的通项公式为：T r+1=Cnr (√x )n−r(124√x)r=Cnr 12r x2 n−3 r4前三项的r=0,1,2.得系数为：t1=1,t2=Cn1 12=12 n,t3=Cn2 14=18 n(n−1)，由已知：2t2=t1+t3 n=1+ 18 n(n−1)，∴n=8通项公式为T r+1=C8r 12r x16−3r4r=0,1,2⋯8,T r+1为有理项，故16−3r 是 4 的倍数，∴r=0,4,8.依次得到有理项为T 1=x4 ,T5=C84 124 x=358 x,T 9=C88 128 x−2= 1256 x2．说明：本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了 r 的取值，得到了有理项．类似地，(√2+3√3)100的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中 r 的取值，得到共有 17 页系数和为．典型例题四例 4（1）求(1−x)3(1+x)10展开式中的系数；（2）求( x+ 1x +2)6展开式中的常数项．分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，（1）可以视为两个二项展开式相乘；（2）可以经过代数式变形转化为二项式．解：（1）(1−x)3(1+x)10展开式中的可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项：用(1−x)3展开式中的常数项乘以(1+x)10展开式中的项，可以得到C105 x5；用(1−x)3展开式中的一次项乘以(1+x)10展开式中的项可得到(−3x )(C104 x4)=−3C104 x5；用(1−x)3中的乘以(1+x)10展开式中的可得到3 x2⋅C103 x3=3C103 x5；用(1−x)3中的项乘以(1+x)10展开式中的项可得到−3 x3⋅C102 x2=−C102 x5，合并同类项得项为：(C105 −C104 +3C103 −C102 )x5=−63 x5．（2）x+ 1x +2=(√ x+ 1√ x)2( x+ 1x +2)5=(√x+ 1√x)12．由(√ x+ 1√x)12展开式的通项公式T r+1=C12r (√2)12−r(1√x)r=C12r x6−r，可得展开式的常数项为C126 =924 ．说明：问题（2）中将非二项式通过因式分解转化为二项式解决．这时我们还可以通过合并项转化为二项式展开的问题来解决．典型例题五例 5 求(1+x−x2)6展开式中的系数．分析：(1+x−x2)6不是二项式，我们可以通过1+x−x2=(1+x)−x2或1+( x−x2)把它看成二项式展开．解：方法一：(1+x−x2)6=[(1+x)−x2]6=(1+x6)−6(1+x)5 x2+15(1+x)4 x4−⋯其中含的项为C65 x5−6C53 x5+15C41 x5=6 x5．含项的系数为 6．方法...