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1 数值微分 差商与数值微分 当函数是以离散点列给出时，当函数的表达式过于复杂时，常用数值微分近似计算的导数
在微积分中，导数表示函数在某点上的瞬时变化率，它是平均变化率的极限；在几何上可解释为曲线的斜率；在物理上可解释为物体变化的速率
以下是导数的三种定义形式： （7
1） 在微积分中，用差商的极限定义导数；在数值计算中返璞归真，导数取用差商（平均变化率）作为其近似值
最简单的计算数值微分的方法是用函数的差商近似函数的导数，即取极限的近似值
下面是与式（7
1）相应的三种差商形式的数值微分公式以及相应的截断误差
向前差商 用向前差商（平均变化率）近似导数有： （7
2） 其中的位置在的前面，因此称为向前差商
同理可得向后差商、中心差商的定义
由泰勒展开 得向前差商的截断误差： 向后差商 用向后差商近似导数有： （7
3） 与计算向前差商的方法类似，由泰勒展开得向后差商的截断误差：中心差商 用中心差商（平均变化率）近似导数有： （7
4）精品文档---下载后可任意编辑 由泰勒展开 得中心差商的截断误差： 差商的几何意义 微积分中的极限定义，表示在的斜率；差商表示过和两点直线的斜率，是一条过的割线
可见数值微分是用近似值内接弦的斜率代替准确值切线的斜率
1 微商与差商示意图 给出下列数据，计算，解：（(0
10) －设定最佳步长 在计算数值导数时，它的误差由截断误差和舍入差两部分组成
用差商或插值公式近似导数产生截断误差，由原始值的数值近似产生舍入误差
在差商计算中，从截断误差的逼近值的角度看，越小，则误差也越小；但是太小的会带来较大的舍入误差
怎样选择最佳步长，使截断误差与舍入误差之和最小呢
一般对计算导数的近似公式进行分析可得到误差的表示式，以中心差商为例，截断误差不超过精品文档---下载后可任意编辑 而舍入误差可用量估量
