精品文档---下载后可任意编辑7.1 数值微分 差商与数值微分 当函数是以离散点列给出时，当函数的表达式过于复杂时，常用数值微分近似计算的导数。在微积分中，导数表示函数在某点上的瞬时变化率，它是平均变化率的极限；在几何上可解释为曲线的斜率；在物理上可解释为物体变化的速率。 以下是导数的三种定义形式： （7.1） 在微积分中，用差商的极限定义导数；在数值计算中返璞归真，导数取用差商（平均变化率）作为其近似值。 最简单的计算数值微分的方法是用函数的差商近似函数的导数，即取极限的近似值。下面是与式（7.1）相应的三种差商形式的数值微分公式以及相应的截断误差。向前差商 用向前差商（平均变化率）近似导数有： （7.2） 其中的位置在的前面，因此称为向前差商。同理可得向后差商、中心差商的定义。 由泰勒展开 得向前差商的截断误差： 向后差商 用向后差商近似导数有： （7.3） 与计算向前差商的方法类似，由泰勒展开得向后差商的截断误差：中心差商 用中心差商（平均变化率）近似导数有： （7.4）精品文档---下载后可任意编辑 由泰勒展开 得中心差商的截断误差： 差商的几何意义 微积分中的极限定义，表示在的斜率；差商表示过和两点直线的斜率，是一条过的割线。可见数值微分是用近似值内接弦的斜率代替准确值切线的斜率。图 7.1 微商与差商示意图 给出下列数据，计算，解：（(0.10) －设定最佳步长 在计算数值导数时，它的误差由截断误差和舍入差两部分组成。用差商或插值公式近似导数产生截断误差，由原始值的数值近似产生舍入误差。在差商计算中，从截断误差的逼近值的角度看，越小，则误差也越小；但是太小的会带来较大的舍入误差。怎样选择最佳步长，使截断误差与舍入误差之和最小呢？ 一般对计算导数的近似公式进行分析可得到误差的表示式，以中心差商为例，截断误差不超过精品文档---下载后可任意编辑 而舍入误差可用量估量（证明略），其中是函数的原始值的绝对误差限，总误差为 当时，总误差达到最小值，即 （*） 可以看到用误差的表达式确定步长，难度较大，难以实际操作。 通常用事后估量方法选取步长，例如，记为步长等于的差商计算公式，给定误差界，当时，就是合适的步长。 对函数，取不同的步长计算，观察误差变化规律，从而确定最佳步长。解：误差误差 表中数据显示，当步长从 0.10 减少到 0.03 时，数值微分误差的绝对值从 0.0048 减少到 0.0001，而随着的进一步减...
