第一讲函数与方程思想、数形结合思想1．公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4是a3与a7的等比中项，S8＝32，则S10等于()A．18B．24C．60D．902．若a>1，则双曲线－＝1的离心率e的取值范围是()A．(1，)B．(，)C．[，]D．(，)3．(2013·湖北省八校高三第二次联考)已知f(x)＝x2＋sin(＋x)，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(x)的图象是()4．(2013·高考课标全国卷Ⅰ)已知命题p：∀x∈R，2x<3x；命题q：∃x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是()A．p∧qB．￢p∧qC．p∧￢qD．￢p∧￢q5．若关于x的方程x2＋2kx－1＝0的两根x1、x2满足－1≤x1<0b>0)，点P在椭圆上．(1)求椭圆的离心率；(2)设A为椭圆的左顶点，O为坐标原点，若点Q在椭圆上且满足|AQ|＝|AO|，求直线OQ的斜率的值．答案：1．【解析】选C.设数列{an}的公差为d.则∴解得：a1＝－3，d＝2，∴S10＝10×(－3)＋×2＝60.2．【解析】选B.e2＝()2＝＝1＋(1＋)2，因为是减函数，所以当a>1时，0<<1，所以20(∀x>0，x≠1)．g(x)满足g(1)＝0，且g′(x)＝1－f′(x)＝.当01时，x2－1>0，lnx>0，所以g′(x)>0，故g(x)单调递增．所以，g(x)>g(1)＝0(∀x>0，x≠1)．所以除切点之外，曲线C在直线L的下方．11．【解】(1)因为点P在椭圆上，故＋＝1，可得＝.于是e2＝＝1－＝，所以椭圆的离心率e＝.(2)设直线OQ的斜率为k，则其方程为y＝kx，设点Q的坐标为(x0，y0)．由条件得消去y0并整理得x＝.①由|AQ|＝|AO|，A(－a，0)及y0＝kx0，得(x0＋a)2＋k2x＝a2，整理得(1＋k2)x＋2ax0＝0.而x0≠0，故x0＝.代入①，整理得(1＋k2)2＝4k2·＋4.由(1)知＝，故(1＋k2)2＝k2＋4，即5k4－22k2－15＝0，可得k2＝5.所以直线OQ的斜率k＝±.
