定积分典型例题20例答案

定积分典型例题 20 例答案 例 1 求 33322321lim(2)nnnnn． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0, 1] n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0, 1] n 等分，则每个小区间长为1ixn，然后把211 1nn n的一个因子 1n乘入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 33322321lim(2)nnnnn=333112lim()nnnnnn=1 3034xdx ． 例 2 2202xx dx=_________． 解法 1 由定积分的几何意义知，2202xx dx等于上半圆周22(1)1xy (0y ) 与x轴所围成的图形的面积．故2202xx dx=2 ． 解法 2 本题也可直接用换元法求解．令1x =sin t （22t ），则 2202xx dx=2221sincosttdt=22021sincosttdt=2202cos tdt=2 例 3 （1）若22( )xtxf xedt ，则( )fx=___；（2）若0( )( )xf xxf t dt ，求( )fx=___． 分析 这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可 ( )( )( )[ ( )] ( )[ ( )] ( )v xu xdf t dtf v x v xf u x u xdx． 解 （1）( )fx=422xxxee； （2） 由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0( )( )xf xxf t dt ，则可得 ( )fx=0( )( )x f t dtxf x． 例 4 设( )f x 连续，且3 10( )xf t dtx，则(26)f=_________． 解 对等式3 10( )xf t dtx两边关于 x 求导得 32(1) 31f xx ， 故321(1)3f xx，令3126x  得3x ，所以1(26)27f． 例 5 函数11( )(3)(0)xF xdt xt的单调递减开区间为_________． 解 1( )3F xx，令( )0F x得13x，解之得 109x，即1(0, )9为所求． 例 6 求0( )(1)arctanxf xttdt的极值点． 解 由题意先求驻点．于是( )fx= (1)arctanxx．令( )fx=0 ，得1x  ，0x ．列表如下： 故1x 为( )f x的极大 值点，0x 为极小值点． 例 7 已知两曲线( )yf x与( )yg x在点(0,0) 处的切线相同，其中 2arcsin0( )xtg xedt ，[ 1,1]x  ， 试求该切线的方程并求极限3lim( )nnf n． 分析...