定积分典型例题 20 例答案 例 1 求 33322321lim(2)nnnnn. 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限.若对题目中被积函数难以想到,可采取如下方法:先对区间[0, 1] n 等分写出积分和,再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限. 解 将区间[0, 1] n 等分,则每个小区间长为1ixn,然后把211 1nn n的一个因子 1n乘入和式中各项.于是将所求极限转化为求定积分.即 33322321lim(2)nnnnn=333112lim()nnnnnn=1 3034xdx . 例 2 2202xx dx=_________. 解法 1 由定积分的几何意义知,2202xx dx等于上半圆周22(1)1xy (0y ) 与x轴所围成的图形的面积.故2202xx dx=2 . 解法 2 本题也可直接用换元法求解.令1x =sin t (22t ),则 2202xx dx=2221sincosttdt=22021sincosttdt=2202cos tdt=2 例 3 (1)若22( )xtxf xedt ,则( )fx=___;(2)若0( )( )xf xxf t dt ,求( )fx=___. 分析 这是求变限函数导数的问题,利用下面的公式即可 ( )( )( )[ ( )] ( )[ ( )] ( )v xu xdf t dtf v x v xf u x u xdx. 解 (1)( )fx=422xxxee; (2) 由于在被积函数中x 不是积分变量,故可提到积分号外即0( )( )xf xxf t dt ,则可得 ( )fx=0( )( )x f t dtxf x. 例 4 设( )f x 连续,且3 10( )xf t dtx,则(26)f=_________. 解 对等式3 10( )xf t dtx两边关于 x 求导得 32(1) 31f xx , 故321(1)3f xx,令3126x 得3x ,所以1(26)27f. 例 5 函数11( )(3)(0)xF xdt xt的单调递减开区间为_________. 解 1( )3F xx,令( )0F x得13x,解之得 109x,即1(0, )9为所求. 例 6 求0( )(1)arctanxf xttdt的极值点. 解 由题意先求驻点.于是( )fx= (1)arctanxx.令( )fx=0 ,得1x ,0x .列表如下: 故1x 为( )f x的极大 值点,0x 为极小值点. 例 7 已知两曲线( )yf x与( )yg x在点(0,0) 处的切线相同,其中 2arcsin0( )xtg xedt ,[ 1,1]x , 试求该切线的方程并求极限3lim( )nnf n. 分析...